P(X²)=P(X)P(X-1) // exercice polynome

[Zweig]

Reprends ton équation de départ en supposant racine de . Montre que l'est aussi.

[Anonyme]

Je saisis le raisonnement mais...

j'écris pour a+1 : P((a+1)²)=P(a+1)P((a+1)-1)
= P(a+1)P(a)
or P(a) =0 donc P((a+1)²)=0 ainsi (a+1)² est racine de P

est-ce correct?

Pour le module de (a+1)² :

le module de (a+1)² vaut nécessairement 1 (partie précédente)on a:

or je sais que le module de (a+1)² est égal au carré du module de a+1
:
donc

ainsi car un module est toujours positif.

et avec ça je dis que géométriquement A est sur un cercle de centre 0 d'affixe -1 et de rayon 1?

Parce que la question d'après me demande de déduire des 2 interprétations géométriques que ou
je suppose donc qu'il faut vérifier les 2 interprétations à savoir que A se trouve sur un cercle de centre 0 et de rayon 1 mais aussi sur un cercle de rayon -1 et de rayon 1. Donc l'intersection des 2 cercles. Mais comment obtenir la valeur des a ?

[girdav]

Tu peux écrire a sous la forme et voir ce que donne le fait que .

[Anonyme]

J'ai appliqué votre conseil et j'obtiens la 1ère forme de a mais je ne vois pas comment avoir la 2ème :marteau:

[Anonyme]

une petite aide?

[benekire2]

|a|=1 implique déjà que a=exp(ip)
|a+1|=|exp(ip)+1|= ... [formule de l'angle moitié]

je te laisse finir.

PS. Je donne la fin :

|a+1|=1 <=> |exp(ip)+1|=1 <=> |2cos(p/2)exp(ip/2)|=1 <=> cos(p/2)=1/2 , conclusion p/2=pi/3 ou p/2=-pi/2 ie p=2pi/3 ou p=-2pi/3=4pi/3 [égalités modulo 2pi]

[Anonyme]

Je ne connaissais pas cette formule de l'angle moitié, je vais reprendre ça.
Vous avez écrit |a+1|=1 <=> |exp(ip)+1|=0 dans votre PS, en quoi |exp(ip)+1|serait égal à 0 ?

[benekire2]

Je ne connaissais pas cette formule de l'angle moitié, je vais reprendre ça.
Vous avez écrit |a+1|=1 |exp(ip)+1|=0 dans votre PS, en quoi |exp(ip)+1|serait égal à 0 ?

Salut, déjà , ne me vouvoie pas !! :ptdr:

Sinon, c'est bien égal a 1 , faute de frappe ! Dsl

[Anonyme]

ok très bien pour la rectification! Je suis navrée d'insister mais tu pourrais m'expliquer comment tu passes de exp(ip)+1 à 2cos(p/2)exp(ip/2) ne connaissant pas trop la formule de l'angle moitié. Quelle serait la propriété générale ?
et pour le passage de |2cos(p/2)exp(ip/2)|=1 <=> cos(p/2)=1/2 je ne comprends pas vraiment l'équivalence :hein:

merci de ton aide, toujours

(pour le vouvoiement c'est l'habitude, on ne sait jamais qui est derrière le clavier :lol3: )

[benekire2]

ok très bien pour la rectification! Je suis navrée d'insister mais tu pourrais m'expliquer comment tu passes de exp(ip)+1 à 2cos(p/2)exp(ip/2) ne connaissant pas trop la formule de l'angle moitié. Quelle serait la propriété générale ?
et pour le passage de |2cos(p/2)exp(ip/2)|=1 cos(p/2)=1/2 je ne comprends pas vraiment l'équivalence :hein:

merci de ton aide, toujours

(pour le vouvoiement c'est l'habitude, on ne sait jamais qui est derrière le clavier :lol3: )

Salut , alors de manière générale :
du fait que sin(-x)=-sin(x) et cos(x)=cos(-x)

[j'ai volontairement mis beaucoup de détails, mais j'ai pas quantifier, faut pas pousser :zen: ]

Sinon l'équivalence ensuite vient du fait que le module de exp(i..) vaut 1 et que il résulte que 2cos(p/2)=1 donc ...

[Anonyme]

2cos(p/2)=1
d'où on a cos(p/2)=1/2 ce qui correspond sur le cercle trigo à p/2 = pi/3 modulo 2pi
ou p/2= -oi/3 modulo 2pi
ainsi p=2pi/3 modulo 2pi ou z=-2pi/3 modulo 2pi (soit 4pi/3)
ainsi on a bien a=exp(2i pi/3) ou a=exp(2i pi/3)²

merci benekire2 de m'avoir bien expliquer en détail les différentes étapes, j'ai tout saisi :we:

il reste une question qui conclue cette partie et l ensemble de l'exo:
pourquoi peut on affirmer que ces 2 expressions de a sont racines de P? que peut on dire des multiplicités respectives de ces 2 racines? et en déduire qu'il existe m dans N*
tel que P(X)=(X²+X+1)^m

je ne saisis déjà pas bien la 1ere question: il faudrait justifier qu il y est bien 2 racines au polynome? ne serait-ce pas à cause du P(X²) dans l'égalité de départ?

[bentaarito]

Salut,
P non constant, donc deg P 1 donc admet au moins une racine..
or si a est une racine alors a+1 l'est aussi ..
je te laisse finir :happy2:

PS: pour la dernière question
....

[bentaarito]

2cos(p/2)=1
d'où on a cos(p/2)=1/2 ce qui correspond sur le cercle trigo à p/2 = pi/3 modulo 2pi
ou p/2= -oi/3 modulo 2pi
ainsi p=2pi/3 modulo 2pi ou z=-2pi/3 modulo 2pi (soit 4pi/3)
ainsi on a bien a=exp(2i pi/3) ou a=exp(2i pi/3)²

merci benekire2 de m'avoir bien expliquer en détail les différentes étapes, j'ai tout saisi :we:

il reste une question qui conclue cette partie et l ensemble de l'exo:
pourquoi peut on affirmer que ces 2 expressions de a sont racines de P? que peut on dire des multiplicités respectives de ces 2 racines? et en déduire qu'il existe m dans N*
tel que P(X)=(X²+X+1)^m

je ne saisis déjà pas bien la 1ere question: il faudrait justifier qu il y est bien 2 racines au polynome? ne serait-ce pas à cause du P(X²) dans l'égalité de départ?

Je comprends pas

[Anonyme]

Un peu en retard mais je vous remercie tous pour votre aide :we:

bentaarito concernant ton dernier post j'ai tapé un peu vite semble t'il: je voulais dire a=exp(4i pi/3)
Merci à vous.