Interet simple exercice corrigé

[lilia889]

Bonjour à tous

J'essaie de faire un exercice mais même avec le corrigé je ne le comprends pas

Est ce que l'on pourrait m'expliquer comment résoudre ce problème?




Exercice
Un capital de 10000 euros est placé à intérêts simples pendant 6 mois aux taux annuel i,
puis la somme obtenue (y compris les intérêts des 6 premiers mois) est placée pendant 6 mois
au même taux plus 2% (+ 2 points). On désire obtenir 1130 euros d’intérêts en fin de placement.
Quel doit être le taux i ?



Corrigé
V1 = capital obtenu au bout de 6 mois= V0(1 + i/2) = 10000(1 + i/2)
et V2 = capital final = V1(1 + i+0.02/2) = 10000(1 + i/2)(1 + i+0.02/2) = 11130.
Apres réduction, on obtient l’equation
250i² + 1005i 103 = 0
equation du second degre qui a 2 solutions, une negative et i = 10%.

[WillyCagnes]

bjr

un capital placé n mois = V0(1+i)^n/12
donc pour n=6

on a C=V0(1+i)^6/12
C= V0(1+i)^0.5

en developpant on obient
C= V0(1+ i x 0.5 +i²x(0.5-1)/2.....

on arrondit à C= V0(1+i/2)= 10000(1+i/2)

V1 capital obtenu= 10000(1+i/2)

puis V2 = capital final soit V1 placé 6 mois à (i+0.02) intérêts

V2= V1[1+(i+0.02)]^6/12
V2=V1[1+(i+0.02)]^0.5 = 1130 ou 11130? attention aux hypothèses

on remplace V1 par V0(1+i/2) = 10000(1+i/2)

donc V2= 11130 = 10000(1+i/2)(1 +(i+0.02)/2)

tu simplifies puis ensuite tu résous l'équation de second degré

[lilia889]

Merci pour la réponse mais malheureusement je n'ai toujours pas compri

[WillyCagnes]

connais-tu la formule du capital
C= V0(1+i)^n

i le taux d'intérêts annuel
n le nombre d'années
V0 somme placée au départ

connais tu les suites? avec le taux i
U0=V0
U1=U0+U0x i =V0+ V0x i =V0(1+i)
U2=U1+U1x i =V0(1+i) +V0(1+i)x i = V0 +V0Xi +V0 xi +V0 x i² =V0(1+i)²

d'où
Un = (1+i)^n = capital obtenu au bout de n année

formule à connaitre, V0 =somme placée au départ
Capital = V0(1+i)^n

dans ton problème 6 mois = 1/2 année
donc
capital V1=10000(1+i)^1/2

mais ton prof a simplifié cette formule par
V1= 10000(1+i/2) qui est une approximation,un ordre de grandeur

est-ce trop dur à comprendre?

[lilia889]

J'ai compris jusque là mais comment en arrive t'on au 10%?

[maxnihilist]

Bonjour,

Si l'on reprend la réponse de ton corrigé, tu en étais resté à un polynôme :
250i² + 1005i ;) 103 = 0
c'est un polynôme de la forme ax²+bx+c = 0

Si tu calcules le discrimant (b² - 4ac), cela te donne :
1010025+103000 = 1113025

Le discriminant est supérieur à 0, il y a donc deux solutions possibles :

x1 = (-b - racine carrée du discrimant) / 2a
x1 = (-1005 - 1055) / 500 = -4.12

x2 = (-b + racine carrée du discrimant) / 2a
x2 = (-1005 + 1055)/500 = 0.1

Quelle solution est juste ? Simple question de bon sens :
ta somme initiale était de 10000 et à la fin tu dois obtenir 11130 tu as eu donc un enrichissement de 1130€. C'est donc forcément que ton taux d'intérêt de placement est positif. La solution est donc 0.1 donc 10%.

[lilia889]

Jusque là je comprends

[V1 = capital obtenu au bout de 6 mois= V0(1 + i/2) = 10000(1 + i/2)
et V2 = capital final = V1(1 + i+0.02/2) = 10000(1 + i/2)(1 + i+0.02/2) = 11130]

ici je ne comprends pas comment on obtient cet equation

Apres réduction, on obtient l’equation
250i² + 1005i 103 = 0

et je ne comprends pas comment cet equation peut donner 10% et 0

equation du second degre qui a 2 solutions, une negative et i = 10%.

Je crois que je vais laisser tomber car j'ai vraiment du mal

[WillyCagnes]

rebonjour

sais-tu developper le produit (1+i/2)(1 +(i+0.02)/2) ?

de la forme (1+a)(1+b)=? 1+a+b+ab tout simplement

avec a=i/2 et b= (i+0.02)/2

ensuite tu l'appliques à
11130 = 10000(1+i/2)(1 +(i+0.02)/2)

je developpe pour toi
11130 =10000[(1+(i+0.02)/2 +i/2 +i/2(i+0.02)/2]
11130 =10000[1 +i/2 +0.01 +i/2 +i²/4 +i/2x0.01]

11130 =10000[1,01 +i(1/2+1/2 +0,01/2) +i² /4]

je multiplie par 10000 les termes de droite
je simplifie pour obtenir

11130 =10100 + 10050i +2500i²
soit aussi
0=-11130 +10100 +10050i +2500i²
0=-1030 +10050i +2500i²

on y arrive, je divise par 10 et tu retrouve ton equation à resoudre
0= -103 +1005i +250i²

250i² +1005i -103 =0 :ptdr:

avec les x c'est plus clair pour toi?
250X² +1005X -103=0

de la forme ax² +bx +c=0 que tu dois savoir trouver les racines

x1=-b/2a +racine carré(b²-4ac)/2a
x2=-b/2a -racine carrée(b²-4ac)/2a