Exercice fonction ln

[max69]

Bonjour,
Je suis en bts ati et venant d'un bac pro je suis un peu perdu en math
c'est pourquoi je viens chercher un peu d'aide pour cela
J'ai fais quelques exercices sur les logarithmes népérien et souhaiterais avoir une correction si cela est necessaire ainsi que vos remarques sur la redaction de mes calculs.

ici on me demande de " resoudre les inéquations "

ln(2-3x) = 0

Voici ma réponse

je sais que ln(1) = 0 alors,
ln(2-3x) = ln(1) donc 2-3x = 1
1-3x = 0
1 = 3x
x = 1/3 s = 3

ln(2x) = ln(x-1)

2x = x-1
x = -1 s = -1

ln(x-2) > 1

ln(x-2) > ln(e)
x-2 > e
x > e+2 s > e+2

Ici on me demande de derivé les fonctions sur un intervalle I à préciser.

f(x) = xln(x) - x
f'(x) = 1lnx + x(1/x) -1
= ln(x) +1 -1
= ln(x) domaine de definition de ln(x) = ]0;+infini[

f(x) = ln(x/1)
f'(x) = -ln(x) domaine de definition de -ln(x) = ]0;+infini[


ici je n'ai pas reussi, on me demande de calculer les limites
Pourriez vous me donnez un exemple pour celui ci : lim ln(x²-1)
x-+infini
J'essaierai ensuite de faire les autres moi même.

dans le derniére exercice il y a deux parties
la partie A

1. Donner la dérivée de g(x) = x² +1 - 2lnx

j'ai trouvé : 2x - (2/x)

2. tracer le tableau de variation de la fonction g

j'ai trouvé que la fonction g est decroissante jusqu'a x = 1 et ensuite croissante et admet un minimum de 2

3. calculer g(1) en deduire que g est strictement positive sur l'intervalle ]0;+infini[

g(1) = 1²+1-2ln(1)
= 2

d'apres le tableau de variation de g, et la valeur de g(1) qui est de 2, j'en deduit que le signe de g(x) est stirctement positif sur l'intervalle ]0;+infini[

Partie B

1. f(x) = (1 + (1/x²) ) ln(x)

Determiner la limite de la fonction f en 0

J'ai trouvé que la fonction f en 0 a comme limite +infini à l'aide de la calculatrice
mais je ne sais pas comment rediger ?

2. determiner la limite de la fonction f en +infini

j'ai également trouvé à l'aide de la calculatrice que f admet un limite de +infini en +infini mais je ne sais pas non plus comment le rediger ?

3. On designe f' le derivée de la fonction f
3.a Montrer que, pour tout réél x, strictement posifif, f'(x) = g(x) / x^3

Pour cela j'ai utiliser (f*g)' = f'g+fg'

f(x) = (1+(1/x²)lnx
f'(x) = -2/(x^3) * ln(x) + (1+(1/x²))*(1/x)
= -2lnx/x^3 + (x²/x² + 1/x²) * (1/x)
= -2ln(x)/x^3 + (( 1+x²)/x²) * (1/x²)
= -2ln(x)/x^3 + (1+x²)/x^3
= (-2ln(x) + 1 + x²) / x^3

3.b

Etudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f

j'ai trouvé à l'aide de ma calulette que x est strictement posiftif sur ]0;+infini [
et en rentrant plus valeur de x , j'ai trouver que f(x) est decroissante sur ]0;+infini[

4 . On definit sur l'intervalle ]0;+infini[ la fonction h par h(x) = f(x) - ln(x)
4.a Determiner la limite en +infini de h

j'ai trouver que la limite de h est : 1 mais sans certitude et je ne sais pas comment le rediger ?

4.b etudier le ligne de la fonction h sur l'intervalle ]0;+infini[ en deduire le position de la courbe (C) et la courbe T

( C : la courbe representative de f et T la courbe d'équation y = ln(x) )

Là je suis perdu..

5. determiner une equation de la tangeante à la courbe (C) au point d'abcisse 1

Completement perdu..



je vous remercie d'avance pour votre aide malgrés l'étendu de ce que je demande..
bonne journée
Max

[Black Jack]

Je n'ai pas tout lu, mais attention, tu oublies d'écrire les conditions de validité et tu arrives alors à des solutions fausses.

Exemple, tu écris :

ln(2x) = ln(x-1)

2x = x-1
x = -1 s = -1

C'est faux.

Il faut faire ainsi :

ln(2x) = ln(x-1)

ln(2x) existe si x > 0
ln(x-1) existe si x > 1

---> les solutions éventuelles de l'équation ln(2x) = ln(x-1) doivent être > 1

2x = x-1
x = -1 ---> ne satisfait pas à la contrainte x > 1 ... et donc x = -1 ne convient pas.

Il n'y a pas de solution à l'équation ln(2x) = ln(x-1)

:zen:

[max69]

Merci de ta réponse rapide

c'est vrai que j'avais un doute sur le fait que x sois negatif avec ln..
Merci a toi

[chan79]

Bonjour,
Je suis en bts ati et venant d'un bac pro je suis un peu perdu en math
c'est pourquoi je viens chercher un peu d'aide pour cela
J'ai fais quelques exercices sur les logarithmes népérien et souhaiterais avoir une correction si cela est necessaire ainsi que vos remarques sur la redaction de mes calculs.

ici on me demande de " resoudre les inéquations "

ln(2-3x) = 0

Voici ma réponse

je sais que ln(1) = 0 alors,
ln(2-3x) = ln(1) donc 2-3x = 1
1-3x = 0
1 = 3x
x = 1/3 s = 3


Max

Bonjour

la solution est 1/3 mais pas 3

[max69]

Bonjour,
merci ceci est une erreur de ma part dans la redaction !

[Anonyme]

f(x) = (1 + (1/x²) ) ln(x)

Déterminer la limite de la fonction f en 0

J'ai trouvé que la fonction f en 0 a comme limite +infini à l'aide de la calculatrice
mais je ne sais pas comment rédiger ?

2. déterminer la limite de la fonction f en +infini

j'ai également trouvé à l'aide de la calculatrice que f admet un limite de +infini en +infini mais je ne sais pas non plus comment le rédiger ?

SALUT
C'est une très bonne idée d'utiliser une calculatrice "graphique" pour voir les limites d'une fonction

Ensuite il faut savoir retrouver par des calculs sur les limites des fonctions dites "fonctions usuelles" les résultats qu'on a vu sur le graphique (sur la calculatrice)

Dans cet exo la fonction f définie par f(x) = ( 1 + (1/x²) ) ln(x)
1) son domaine de définition et ] 0 , +infini [ ( à cause de la fonction ln et parce qu'on ne divise par par 0)

2) Comme
Il faut calculer les 2 limites ( aux bornes du domaine de définition )

2.1) quand x tend vers +infini
comme limite de 1 + (1/x²) tend vers 1
comme limite de ln(x) tend vers +infini

donc limite de ( 1 + (1/x²) ) ln(x) =


2.2) quand x tend vers 0+
comme limite de 1 + (1/x²) tend vers +infini
comme limite de ln(x) tend vers -infini

donc limite de ( 1 + (1/x²) ) ln(x) =

3. On designe f' le derivée de la fonction f
3.a Montrer que, pour tout réél x, strictement posifif, f'(x) = g(x) / x^3

Pour cela j'ai utiliser (f*g)' = f'g+fg'

f(x) = (1+(1/x²)lnx
f'(x) = -2/(x^3) * ln(x) + (1+(1/x²))*(1/x)
= -2lnx/x^3 + (x²/x² + 1/x²) * (1/x)
= -2ln(x)/x^3 + (( 1+x²)/x²) * (1/x²)
= -2ln(x)/x^3 + (1+x²)/x^3
= (-2ln(x) + 1 + x²) / x^3

3.b

Etudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f

j'ai trouvé à l'aide de ma calculette que x est strictement positif sur ]0;+infini [
et en rentrant plus valeur de x , j'ai trouver que f(x) est décroissante sur ]0;+infini[

Tu as fait une erreur : le résultat est
f'(x) = (-2xln(x) + 1 + x²) / x^3

L'étude du signe de f'(x) revient à l'étude du signe de (-2xln(x) + 1 + x²) car
car on travaille sur

ET comme la fonction est croissante sur ( d'après la lecture de son graphe sur la calculatrice)
on doit donc trouver par des calculs que pour tout x > 0

Essaie de faire cette étude de signe

et si tu as encore des questions sur la suite de cet exo , n'hésite pas les poser

A+

[max69]

Bonjour ptitnoir,

Comment trouves tu le -2xlnx dans la deuxiéme partie de ta réponse ?

merci pour le reste de tes reponses, elles m'ont bien aidées

[Anonyme]

@max69

"Cela provient de la dérivée de 1+ 1/x² qui est -2x/x^3"

[max69]

Pour la derivée je trouve -2/x^3 suivant mon tableau de derivée qui est semblable a celui ci : http://www.google.fr/imgres?imgurl=http://braise.univ-rennes1.fr/donnees/ParamHTML/Fonctions%2520de%2520R%2520dans%2520R/con/Tableau%2520des%2520d%C3%A9riv%C3%A9es%2520usuelles/cst0x.png&imgrefurl=http://braise.univ-rennes1.fr/donnees/ParamHTML/Fonctions%2520de%2520R%2520dans%2520R/con/Tableau%2520des%2520d%25E9riv%25E9es%2520usuelles/cst.html&h=965&w=669&sz=35&tbnid=7fN9vvHz8uaSWM:&tbnh=84&tbnw=58&prev=/search%3Fq%3Dtableau%2Bderiv%25C3%25A9e%26tbm%3Disch%26tbo%3Du&zoom=1&q=tableau+deriv%C3%A9e&usg=__2Ph9gr5KwfI_AurxXlevN8eGqmM=&docid=UHAwk0bz2Rv-CM&sa=X&ei=Hg7vUJH7MoaY0QWy5YCoBg&ved=0CEoQ9QEwBQ&dur=27

[Anonyme]

@max69

soit la fonction définie par l'expression

1) cette fonction est définie sur

2) elle est dérivable sur son domaine de définition

3) Posons on a

Comme on a

d'après ton tableau on a

et donc TU AS RAISON


ps1)
"Désolé pour l'erreur"


ps2)
"Errare humanum est, perseverare diabolicum"

[max69]

Il n'y a pas de soucis, merci quand même !