Base orthogonale exercice corrigé incompris

[Robot]

C'est tellement vrai, j'en suis aussi coupable ! Que faire d'autre si on n'a personne pour nous expliquer et que le prof n'est pas disponible?

Es-tu toi aussi dans l'impossibilité d'accéder à un manuel ?

[alm]

Je dirai que pour une signature de (4,0), la forme est non dégénéré et positive de plus il existe une base orthonormée car la signature est de la forme (n,0)

OK,ajoutons que dans ce cas particulier la forme bilineaire associée à q est un produit scalaire ce qui permet de profiter de toutes les propriétés liées à ce cas notamment celles concernant les familles orthogonale.

[alm]

Dans cet exercice, on n'utilise rien de spécifique concernant les formes quadratiques définies positives. Seulement la décomposition en carrés de Gauss, qui s'applique à toutes les formes quadratiques (et qui marche sur n'importe quel corps de caractéristique différente de 2).
Il vaut mieux ne pas trop charger la barque et se concentrer sur la façon dont la décomposition de en carrés de Gauss permet de fabriquer une base orthogonale pour n'importe quelle forme quadratique.

En lisant Glo18, je sent qu'il a des problèmes avec son cours et non pas cet exo( d'ailleurs la réponse donnée à la fin concernant la base est incorrecte). On essayera donc de le mettre sur la bonne voie concernant le cours d'abord.
Ceci d'une part, d'autre part, il existe des programmes qui donnent quelques notions superficielles sur les formes quadratique (pas d’approfondissement) pour se consacrer ensuite aux cas particuliers des espaces pré-hilbertiens voire euclidiens.
J'invite, à l'occasion Glo18, s'il veut bien nous dire quel programme il aborde? Est ce une étude complète sur les formes quadratiques ou elles sont juste une étude sommaire (tu peux, par exemple, citer les chapitres et paragraphes étudiés, et pourquoi pas nous dire le niveau d'études concerné).

[Robot]

d'ailleurs la réponse donnée à la fin concernant la base est incorrecte

De quoi parles-tu ?

[Glo18]

Dans cet exercice, on n'utilise rien de spécifique concernant les formes quadratiques définies positives. Seulement la décomposition en carrés de Gauss, qui s'applique à toutes les formes quadratiques (et qui marche sur n'importe quel corps de caractéristique différente de 2).
Il vaut mieux ne pas trop charger la barque et se concentrer sur la façon dont la décomposition de en carrés de Gauss permet de fabriquer une base orthogonale pour n'importe quelle forme quadratique.

En lisant Glo18, je sent qu'il a des problèmes avec son cours et non pas cet exo( d'ailleurs la réponse donnée à la fin concernant la base est incorrecte). On essayera donc de le mettre sur la bonne voie concernant le cours d'abord.
Ceci d'une part, d'autre part, il existe des programmes qui donnent quelques notions superficielles sur les formes quadratique (pas d’approfondissement) pour se consacrer ensuite aux cas particuliers des espaces pré-hilbertiens voire euclidiens.
J'invite, à l'occasion Glo18, s'il veut bien nous dire quel programme il aborde? Est ce une étude complète sur les formes quadratiques ou elles sont juste une étude sommaire (tu peux, par exemple, citer les chapitres et paragraphes étudiés, et pourquoi pas nous dire le niveau d'études concerné).

Voici tout les titres present dans mon cours, je ne pense pas que ce soit une etude approfondie vu que j'etudie l'informatique .. ( enfin il y'a 2 ans de cycle prepa dans la formation donc peut etre .. )
Base orthogonales et bases orthonormées
Famille orthogonale/orthonormale
Existence de bases orthogonales
Probleme des bases orthonormées
Decomposition en carrés d'une forme quadratique
Algorithme de gauss
Theoreme de sylvester
Signature d'une forme quadratique

[alm]

d'ailleurs la réponse donnée à la fin concernant la base est incorrecte

De quoi parles-tu ?

Je parlais du pdf. Un debutant pourrait croire qu' une telle base est unique.or ce n est pas le cas.
Oui j ai peut être exagéré mais il vaut mieux être précis.

[Robot]

Le pdf :
"Précisons enfin une base de E qui soit orthogonale pour q"
Je ne comprends pas ton reproche et encore moins que tu parles de réponse incorrecte.
Enfin, il ne s'agit pas du cours, mais d'un DM. On ne va pas rappeler tout le cours dans un DM. Et c'est pour ça que je dis qu'il est illusoire de croire qu'on va comprendre l'enchainement d'une théorie dans un DM.

[alm]

Oui, tu as raison, incorrect c'était pas le mot approprié, il fallait juste signaler ça comme remarque.

[alm]

@ Glo18
j'essaye d'écrire pour toi un petit doc qui j'éspère t'aidera

[Robot]

Le lien ne fonctionne pas.

[alm]

Le lien ne fonctionne pas.

Il fonctionne maintenant

[Robot]

Un petit oubli lignes 3-4 :

[Glo18]

Merci a vous pour vos efforts avec moi ^^ je vais essayer de consulter votre lien dans la soiré
Actuellement une question me trote dans la tete, si on me donne par example un vecteur V dans une base orthogonale et qu'on me demande de l'ecrire dans la base canonique ou inversement, comment devrai je m'y prendre ?

[alm]

Je t'en prie Glo18 et merci Robot pour ta sympathie de lire les pages et l'oubli signalé (je corrigerai quand je serai en place...)
Pour l'expression d'un vecteur dans une base (en particulier la base canonique ...), sachant que est exprimé dans une autre base , applelons et les colonnes de coordonnées de relativement à et respectivement, ce qui veut dire: si on pose et , , alors et . Soit la matrice de passage de à , c'est-à-dire que la eme colonne de est exactement la colonne des coordonnées de relativement à la base , pour tout }. Alors et sont liées par la relation : donc où est l'inverse de , donc la matrice de passage de à .
Pour faire ton calcul, tu remarques donc qu'il te faut bien écrire la matrice de passage de à
Exemple:
Dans et la base avec et avec , la base canonique, la matrice de passage de à est et si on considère par exemple alors . La colonne des coordonnées de dans est par suite: , donc

[Glo18]

Je t'en prie Glo18 et merci Robot pour ta sympathie de lire les pages et l'oubli signalé (je corrigerai quand je serai en place...)
Pour l'expression d'un vecteur dans une base (en particulier la base canonique ...), sachant que est exprimé dans une autre base , applelons et les colonnes de coordonnées de relativement à et respectivement, ce qui veut dire: si on pose et , , alors et . Soit la matrice de passage de à , c'est-à-dire que la eme colonne de est exactement la colonne des coordonnées de relativement à la base , pour tout }. Alors et sont liées par la relation : donc où est l'inverse de , donc la matrice de passage de à .
Pour faire ton calcul, tu remarques donc qu'il te faut bien écrire la matrice de passage de à
Exemple:
Dans et la base avec et avec , la base canonique, la matrice de passage de à est et si on considère par exemple alors . La colonne des coordonnées de dans est par suite: , donc

Merci beaucoup !
Est ce que c'est la meme chose chose pour une matrice ?

[alm]

Je t'en prie!
Oui, si et sont deux vecteurs dont les colonnes de coordonnées dans et respectivement sont et et si est la matrice de passage de à alors en notant [x,y] la matrice ayant deux colonnes et on a :
On compile ça comme suit: en notant (famille de deux vecteurs), on a :
Pour bien visualiser ça , écrivons le explicitement en dimension par exemple:
Si et alors

[Glo18]

Je t'en prie!
Oui, si et sont deux vecteurs dont les colonnes de coordonnées dans et respectivement sont et et si est la matrice de passage de à alors en notant [x,y] la matrice ayant deux colonnes et on a :
On compile ça comme suit: en notant (famille de deux vecteurs), on a :
Pour bien visualiser ça , écrivons le explicitement en dimension par exemple:
Si et alors

Je vois cela semble logique ^^, cependant j'ai une confusion au niveau de cette même question avec un des exercice que ma prof a corrigé en TD, voici l'exo ( c'est l'exo 4) :

Mon soucis se pose a la 4eme question, selon ma compréhension on devrai pour résoudre cette question multiplier la matrice A par la matrice de passage P que l'on obtient de la nouvelle base B' donc A' = A*P, hors pour le resoudre ma prof nous a dit que A'=P*A*P^t ( par P^t je veux dire P transposé ), du coup je me demande quel est la différence entre cette question et celle que je t'es poser ? je ne vois pas, pour moi c'est la même chose !

Sinon je vien de voir le fichier que tu ma fais, je t'en remercie ^^ au niveau des question que tu me pose à l'example 2, je dirai que la matrice P vaut :

3 1
-1 -2

Et les vecteur E1, E2 valent : E1 = PX1 et E2= PX2 cela me donne les vecteur (8,-1) et (1, 3 )

[Robot]

Je pense que ta prof t'as dit que la matrice de la forme bilinéaire symétrique dans la nouvelle base est , vérifie.
Et ça se comprend facilement quand on sait que l'expression matricielle de la forme bilinéaire symétrique est où (resp. ) est le vecteur colonne des coordonnées de (resp. ) dans la base et la matrice de dans la base .
Si on a une nouvelle base , la matrice de changement de base de à , on sait que les vecteurs colonnes et des coordonnées de et dans la base vérifient et . On a donc, pour tous :

ce qui montre que la matrice de dans la base est bien .

[Glo18]

Je pense que ta prof t'as dit que la matrice de la forme bilinéaire symétrique dans la nouvelle base est , vérifie.
Et ça se comprend facilement quand on sait que l'expression matricielle de la forme bilinéaire symétrique est où (resp. ) est le vecteur colonne des coordonnées de (resp. ) dans la base et la matrice de dans la base .
Si on a une nouvelle base , la matrice de changement de base de à , on sait que les vecteurs colonnes et des coordonnées de et dans la base vérifient et . On a donc, pour tous :

ce qui montre que la matrice de dans la base est bien .

Je comprend ce que tu veux dire mais je ne vois pas la différence avec la question que j'ai posé, pour moi la question reste d’écrire une matrice d'une base B dans une base B' .. est ce que c'est un cas particulier seulement pour les formes bilinéaire symétrique ?

[Robot]

pour moi la question reste d’écrire une matrice d'une base B dans une base B'

Cette question n'a aucun sens.
Ce qui a un sens, c'est d'effectuer un changement de base pour la matrice d'un endomorphisme. Ou encore, d'effectuer un changement de base pour la matrice d'une forme bilinéaire.
La formule de changement de base est différente dans les deux cas.
Dans le premier cas, si est la matrice de l'endomorphisme dans la base , la matrice de passage de à , alors la matrice de l'endomorphisme dans la base est .
Dans le deuxième cas, si A est la matrice de la forme bilinéaire dans la base , la matrice de passage de à , alors la matrice de l'endomorphisme dans la base est .

Une question indiscrète : est-ce que tu vas aux cours ? Ou est-ce que tu estimes que ce n'est pas la peine d'y aller ?