Base orthogonale exercice corrigé incompris

[Glo18]

Bonjour,

J'essaye de comprendre les bases orthogonale a travers des exercice corrigé mais j'ai un soucis avec une question d'un des exo que voici sur ces liens : http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/MAS ... _23_04.pdf
corrigé : http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/MAS ... orrige.pdf

Pourriez vous m'expliquer comment les calculs ont été fait lors de la dernière question de l'exercice numéro 2 pour trouver la matrice P tel que

Merci

[Robot]

La matrice P vient tout bêtement de la réécriture sous forme matricielle de l'expression de en fonction de donnée à la ligne du dessus.

Edit : je soupçonne que ma réponse ne te satisfait pas, sans doute parce que tu n'as pas posé la bonne question, à savoir "Pourquoi les colonnes de la matrice P fournissent-elles une base orthogonale pour la forme quadratique ?"

[Glo18]

La matrice P vient tout bêtement de la réécriture sous forme matricielle de l'expression de en fonction de donnée à la ligne du dessus.

Edit : je soupçonne que ma réponse ne te satisfait pas, sans doute parce que tu n'as pas posé la bonne question, à savoir "Pourquoi les colonnes de la matrice P fournissent-elles une base orthogonale pour la forme quadratique ?"

Merci pour ta réponse , en effet tu as vu juste ^^ pourquoi la matrice P forment une base orthogonale ? est ce que cette méthode marche pour tout autre forme quadratique ?

[Robot]

Voila le défaut d'espérer comprendre un point de cours en faisant des exercices corrigés ! (Défaut courant chez les étudiants).
Il faut que tu revoies un cours sur les bases orthogonales pour une forme quadratique. N'en as-tu pas un à ta disposition ?
Indication : les formes linéaires sont les formes linéaires coordonnées dans une base orthogonale. Pour trouver cette base orthogonale, on se souvient que la matrice de changement de base de la base canonique (ancienne base) à cette base orthogonale (nouvelle base) donne les coordonnées dans la base canonique () en fonction des coordonnées dans la base orthogonale (). On se souvient aussi que la matrice de changement de base est par définition celle dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne base.

[Glo18]

Voila le défaut d'espérer comprendre un point de cours en faisant des exercices corrigés ! (Défaut courant chez les étudiants).
Il faut que tu revoies un cours sur les bases orthogonales pour une forme quadratique. N'en as-tu pas un à ta disposition ?
Indication : les formes linéaires sont les formes linéaires coordonnées dans une base orthogonale. Pour trouver cette base orthogonale, on se souvient que la matrice de changement de base de la base canonique (ancienne base) à cette base orthogonale (nouvelle base) donne les coordonnées dans la base canonique () en fonction des coordonnées dans la base orthogonale (). On se souvient aussi que la matrice de changement de base est par définition celle dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne base.

Oui j'avoue, je préfère largement regarder des exercices corrigé que le cours, car vraiment quand je regarde le cours et que j'essaye de le comprendre je ne vois presque pas ou cela mène ... je trouve les exercices beaucoup plus pratique pour comprendre.

J'ai un cours que je viens de parcourir mais je ne vois pas ce qui pourrai m'aider ... la seule partie que je vois en relation avec une matrice de passage est celle ci :

mais je ne comprend toujours pas , je ne trouve pas de méthode général pour trouver une base orthogonale ou orthonormée ..

Edit : en faisant une recherche sur internet, j'ai trouvé un cours qui propose une méthode appelé "orthogonalisation de gauss", est ce que je peu l'utiliser dans le cas présent pour trouver une base?

[Robot]

L'extrait que tu as scanné n'a pas de rapport avec le problème.

Cette page traite explicitement du problème. Mais elle fait appel à du matériel que tu ne maîtrises peut-être pas.
D'où l'importance d'avoir un bon manuel de cours et de l'étudier.

[Glo18]

L'extrait que tu as scanné n'a pas de rapport avec le problème.

Cette page traite explicitement du problème. Mais elle fait appel à du matériel que tu ne maîtrises peut-être pas.
D'où l'importance d'avoir un bon manuel de cours et de l'étudier.

Merci pour le lien, je vais essayer de comprendre.

As tu vu mon edit sur le dernier post concernant l'orthogonalisation de gauss ?

Je viens egalement de voir le procédé de Gram-Schmidt ... qu'en pense tu ? laquelle des 2 méthodes est a conseiller ?

[Robot]

Un autre défaut courant : papillonner de document pêché sur internet à un autre, au lieu d'étudier sérieusement un manuel. Par exemple Grifone, Algèbre linéaire, qu'on trouve dans toutes le BU et qu'on peut même acheter.

[alm]

Pourriez vous m'expliquer comment les calculs ont été fait lors de la dernière question de l'exercice numéro 2 pour trouver la matrice P

La matrice provient des formules en haut donnant en fonction de

[Robot]

C'est ce que j'ai déjà écrit dans mon premier message, et si tu avais lu le fil tu aurais vu qu'en fait ce n'était pas la bonne question.

[Glo18]

Je vie dans un pays ou on a pas accés a ces manuels malheureusement , je fais des recherche sur le net car je ne comprend pas le cours fourni par notre prof ... ou du moins très peu, c'est pour cela que j'essaye de trouver des exercices corrigés ou un cours avec une méthode à suivre pour ne pas faire de bêtises, personnellement c'est comme ça que j'arrive un tant soit peu a comprendre .. je n'ai jamais su résoudre des exercices en me basant uniquement sur le cours ou alors très rarement quand c'est une chose très simple

[Robot]

Le cours n'est pas suffisant, mais il est nécessaire.

[Glo18]

Le cours n'est pas suffisant, mais il est nécessaire.

C'est vrai mais bon .. perso quand je lis un cours comme ça soit je ne comprend rien soit très peu, le mieux a mon sens est que le cours soit fait sous forme de cours/exercice ou le cours sera expliqué a travers un ou plusieurs exercices .. malheureusement les cours comme ça sont rare

[alm]

C'est ce que j'ai déjà écrit dans mon premier message, et si tu avais lu le fil tu aurais vu qu'en fait ce n'était pas la bonne question.

Désolé, je ne sais pas comment cela s'est passé, car pour moi j'avais justement tout lu et n'ai pas vu ce passage.
Peut être une mauvaise concentration de ma part ou un précépitation de vouloir aider.
Désolé encore une fois !

[alm]

Le cours n'est pas suffisant, mais il est nécessaire.

C'est vrai mais bon .. perso quand je lis un cours comme ça soit je ne comprend rien soit très peu, le mieux a mon sens est que le cours soit fait sous forme de cours/exercice ou le cours sera expliqué a travers un ou plusieurs exercices .. malheureusement les cours comme ça sont rare

Je partage ton point de vu et je préfére la formule suivante:
- Assister au cours d'un professeur (classe ou amphi...) en sortant avec le maximum possible compris ou au moins un plan de cours en tête.
- Travailler les exercices pour bien digérer le cours d'une part et commencer à appréhender de problème d'autre part, mais aussi detecter les énoncés les plus utilisés et la manière de les utiliser (le cours peut comprendre des énoncés pas inutils mais qui sont des intemédiaires necessaires pour arriver à un énoncé final qui lui sera le plus utilisé (exemple : théorème spéctral en algébre bilinéaire).
L'idéal est d'avoir assisté à un cours illsutré par des exemples bien choisis et fait soigneusement, suivis de TD qui conssitent à répéter presque les mêmes exemples, dans une phase d'apprentissage puis des exercices de plus en plus avancés quand on sent que l'étudiant a bien compris les bases. Ce n'est pas évident à réaliser , mais c'est possible dans une mesure ...

[Glo18]

Le cours n'est pas suffisant, mais il est nécessaire.

C'est vrai mais bon .. perso quand je lis un cours comme ça soit je ne comprend rien soit très peu, le mieux a mon sens est que le cours soit fait sous forme de cours/exercice ou le cours sera expliqué a travers un ou plusieurs exercices .. malheureusement les cours comme ça sont rare

Je partage ton point de vu et je préfére la formule suivante:
- Assister au cours d'un professeur (classe ou amphi...) en sortant avec le maximum possible compris ou au moins un plan de cours en tête.
- Travailler les exercices pour bien digérer le cours d'une part et commencer à appréhender de problème d'autre part, mais aussi detecter les énoncés les plus utilisés et la manière de les utiliser (le cours peut comprendre des énoncés pas inutils mais qui sont des intemédiaires necessaires pour arriver à un énoncé final qui lui sera le plus utilisé (exemple : théorème spéctral en algébre bilinéaire).
L'idéal est d'avoir assisté à un cours illsutré par des exemples bien choisis et fait soigneusement, suivis de TD qui conssitent à répéter presque les mêmes exemples, dans une phase d'apprentissage puis des exercices de plus en plus avancés quand on sent que l'étudiant a bien compris les bases. Ce n'est pas évident à réaliser , mais c'est possible dans une mesure ...

En effet cela serai pas mal .. mais bon c'est vraiment rare de trouver un prof qui sait y faire, l'année passée mon prof d’algèbre assurer de ce coté là .. mais cette année c'est juste une catastrophe niveau compréhension sa ne passe pas du tout pour la majorité des élèves, en plus comme elle dit qu'elle est en retard car elle a un programme a terminé ... elle nous a carrément demander de nous débrouiller pour comprendre le cours sur l’orthogonalité tout seule la semaine passé et hier elle a fait le cours sur les bases orthogonale & bases orthonormées a vitesse grand V .. -_- ( désolé si je me suis un peu (trop) défoulé x) )

Enfin je pense que l'enseignement est un art, avec certain prof sa passe tout de suite, avec d'autres pas du tout ..

[alm]

Alors revenons à ton exo: il y'a une erreur de frappe quand ton corrigé dit le rang de est égal à . En effet sa signature est . Si tu veux on commence à voir un peu ça, quelle particularité ont les formes quadratiques (réelles) de signature dans un espace vectoriel réél de dimension ? (bien entendu , est un entier naturel non nul).
Si tu réponds bien à cette question, je crois que ça va t'aider à faire au moins ce cas (signature )

[pour t'aider à répondre voici des tags: [norme-produit scalaire - non dégénérée - positive - définie-Espace euclidien-Théorème spectral-endomorphisme symétrique]
(Elles sont peut être en excés, mais démarrons comme ça pour réviser ensemble tout ça )
On se verra peut être demain car je poste mon dernier pour aujourd'hui.

[Lostounet]

Voila le défaut d'espérer comprendre un point de cours en faisant des exercices corrigés ! (Défaut courant chez les étudiants).

(...)

Un autre défaut courant : papillonner de document pêché sur internet à un autre, au lieu d'étudier sérieusement un manuel.

C'est tellement vrai, j'en suis aussi coupable ! Que faire d'autre si on n'a personne pour nous expliquer et que le prof n'est pas disponible?

[Glo18]

Alors revenons à ton exo: il y'a une erreur de frappe quand ton corrigé dit le rang de est égal à . En effet sa signature est . Si tu veux on commence à voir un peu ça, quelle particularité ont les formes quadratiques (réelles) de signature dans un espace vectoriel réél de dimension ? (bien entendu , est un entier naturel non nul).
Si tu réponds bien à cette question, je crois que ça va t'aider à faire au moins ce cas (signature )

[pour t'aider à répondre voici des tags: [norme-produit scalaire - non dégénérée - positive - définie-Espace euclidien-Théorème spectral-endomorphisme symétrique]
(Elles sont peut être en excés, mais démarrons comme ça pour réviser ensemble tout ça )
On se verra peut être demain car je poste mon dernier pour aujourd'hui.

Je dirai que pour une signature de (4,0), la forme est non dégénéré et positive de plus il existe une base orthonormée car la signature est de la forme (n,0)

[Robot]

Dans cet exercice, on n'utilise rien de spécifique concernant les formes quadratiques définies positives. Seulement la décomposition en carrés de Gauss, qui s'applique à toutes les formes quadratiques (et qui marche sur n'importe quel corps de caractéristique différente de 2).
Il vaut mieux ne pas trop charger la barque et se concentrer sur la façon dont la décomposition de en carrés de Gauss permet de fabriquer une base orthogonale pour n'importe quelle forme quadratique.