Oui c'est plus rapide. Ils disent que pour le numérateur et le dénominateur de la fonction en question sont positifs. Donc le quotient est positif, fin de l'histoire.
Il faut bien distinguer "f positive" et "f monotone". Ce sont deux notions très différentes:
f positive t'indique de quel côté des abscisses se trouve le graphe de ta fonction.
f monotone (croissante/décroissante) t'indique si son graphe "monte" ou "descend".
Une fonction peut très bien être positive et croissante, positive et décroissante, négative et croissante, négative et décroissante ou ni l'un ni l'autre. Bien sûr tu peux, dans certaines conditions, déduire l'un de l'autre comme c'est fait ici :
ln croissante et ln(1)=0 donc pour tout y>1, ln(y)>ln(1)=1 donc pour tout x>0, ln(1+x)>0.
Cependant une étude de la monotonie (souvent) plus compliquée qu'une étude de signe. (le "souvent" est à prendre avec beaucoup de pincettes, mais disons que dans les sujets qu'on te proposera, lorsque l'étude de signe te sera demandée il sera plutôt rare que tu aies à prendre l'initiative d'étudier la monotonie pour arriver à tes fins).
Morale : il fait vraiment à tout prix distinguer les deux notions
PS: l'emploi de la dérivée n'est pas une étude "traditionnelle" du signe mais de la monotonie, on en revient à la différence essentielle entre les deux notions. Dis toi bien qu'en donnant la dérivée d'une fonction au meilleur mathématiciens du monde il est incapable d'en déduire son signe
("revenir en arrière" i.e. primitiver se fait à une constante près).
