Dérivabilité: Montrer qu'une fonction est C infinie.

[Arthur.]

Bonjour à tous.
J'ai un problème avec un exercice consistant principalement, comme l'indique le titre, à montrer qu'une fonction est C infinie.
Voici l'énoncé:
"Soit f(x) = e^(-1/x²) si x;)0 et f(0)=0. Montrer que f est C infinie et que pour tout n \in N, on a f^(n)(0) =0 (f dérivée n fois)

Pour la première partie de la question, j'ai pensé à exprimer f^(n)(x) par le produit d'un polynôme que j'ai noté Pn(x) et de e^(-1/x²), ce qui nous donne : f^(n)(x)= Pn(x)e^(-1/x²).
Mais est-ce suffisant pour dire que f est C infinie?
Pour la deuxième partie de la question, je pensais à réutiliser le fait que f soit C infinie et que f(0)=0. Du coup, par récurrence je comptais montrer que si f^(n)(0) = 0 (f dérivée n fois) pour tout n.

Merci de me donner vos avis :)

[girdav]

Oui, on peut exhiber une relation de récurrence pour de façon à montrer qu'une telle suite de polynômes existe bien (mais la relation est plutôt de la forme ). Ça permet de montrer par récurrence que admet des dérivées de tous ordres et qu'elles sont nulles en .

[Arthur.]

D'accord, merci beaucoup.