ECS 1 : dérivabilité, continuité...

[la-gueudine]

j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre :

Soient a R, f et g deux applications de (a ; +( dans R continue sur (a ; +( et dérivables sur )a ; +(. On suppose que g' ne s'annule pas sur )a ; +(.

Il faut que je montre que quelque soit x appartenant à )a ; +( g(x) est différent de g(a).... comment est ce que je fais ???

[Nightmare]

Salut !

Est-ce normal que f n'intervienne pas? Sinon pour le résultat sur g, tu peux utiliser par exemple le théorème de Rolle si tu le connais !

[Finrod]

g' ne s'annule pas, qu'en déduis-tu ?

edit: Nightmare - mais ne serait-ce pas immédiat ?

[Nightmare]

Le problème est que g n'est pas supposée de classe C1 !

[la-gueudine]

f intervient dans la suite de l'exo. je voudrais déja arriver à faire le début. Voici le sujet du dm ou il intervient : http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtcmxhbGF1emV8Z3g6MmJjNzRjYjNkMGEwYjE4MQ (exercice 2)

Le théorème de Rolle n'est pas ? :
Pour deux nombres réels a et b tels que a<B et f une fonction à valeurs réelles continue sur (a;b) et dérivable sur )a;b( telle que :
f(a)=f(b)
alors il existe (au moins) un élément c de )a;b( tel que :
f'(c) =0 ???
Donc si je fais le corollaire, si c n'existe pas alors f(x) est différent de f(a) ???

[Nightmare]

"Donc si je fais le corollaire, si c n'existe pas alors f(x) est différent de f(a) ???"

Je n'ai pas compris ta conclusion.

Si l'on suppose que g prend une nouvelle fois la valeur g(a), c'est à dire s'il existe un b distinct de a tel que g(a)=g(b), d'après le théorème de Rolle g' s'annule au moins une fois, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse !

[Finrod]

Le problème est que g n'est pas supposée de classe C1 !

Question stupide pour toi nightmare:

ça donne quoi une fonction dérivable en un point a, non en a ?

là je bloque, j'ai l'impression que c'est forcément continu.

[la-gueudine]

ok j'ai compris. je voulais dire ca mais j'étais partie sur la contraposée du théorème. bref. pour la suite je fais comment ? ( voir lien) je fais le taux d'accroissement de f, l'inverse du taux d'accroissement de g c'est ca?

[Nightmare]

exemple typique :

en prolongeant .

f est dérivable en 0 mais f' n'est pas continue en 0.

[la-gueudine]

Ok Nightmare donc je peux pas appliquer le th de Rolle parce que je sais pas si g' est continue...

[Nightmare]

Si si, justement le théorème de Rolle ne prend pas comme hypothèse que g' doit être continu.

Ce que voulait dire Finrod c'est que si on suppose g' continu alors le théorème est évident puisqu'alors, vu qu'elle ne s'annule pas, elle est de signe constant et donc g est strictement monotone (et en particulier injective donc)

[Finrod]

exemple typique :

en prolongeant .

f est dérivable en 0 mais f' n'est pas continue en 0.

Ok merci !

[la-gueudine]

et pour la question 2 est ce que ca marche ce que j'ai dit :
f'(c)=f(x)-f(a) / (x-a)
g'(c) = g(x)-g(a) / (x-a) et en passant à l'nverse ca me donnerait le bon rapport???

[la-gueudine]

C'est débile ce que je viens de dire ca marche pas du tout. je dois montrer l'existance de ce c... je fais comment ??

[Ben314]

Salut,
Non, ça ne marche pas car rien ne te dit que le 'c' de la première égalité est le même que celui de la deuxième.

Utilise l'indication...

[Nightmare]

Applique le théorème de Rolle à la fonction

[la-gueudine]

je comprend pas comment je peux appliquer le théorème de rolle à cette fonction...

[la-gueudine]

Mais comment l'utiliser cette indication ? Je le choisis comment lambda?

[la-gueudine]

Par contre pour la question 3 je peux faire ce que je disais non???

[Ben314]

Bon, comment trouver le "lambda" de l'indication ?
Réponse évidente : il faut choisir le lambda... de façon à arriver à démontrer ce que l'on te demande !!!
Evidement, il faut d'abord avoir une petite idée sur les outils que tu va employer pour faire la preuve.
Ici, c'est assez facile : exo d'analyse avec des fonctions continues sur des intervalles fermés et dérivable sur des ouverts => Théorème de Rolles (ou des accroissements finis, mais c'est la même chose)

Donc il faut que tu trouve lambda de façon à
1) Pouvoir appliquer Rolles à la fonction "phi"
2) Que le résultat du théorème de Rolles implique bien le résultat que tu doit démontrer.

Tu tatonne un peu et tu trouve.... ce que doraki t'as conseillé de faire (quitte à diviser par g(b)-g(a) pour que ça "colle" exactement avec l'indic)