Dérivabilité , analyse

[georgess]

Bonsoir à tous , j'ai l'exercice suivant :

Soit I un intervalle de R et f une fonction de I dans R . On suppose dans tout l'exercice que f est continue et dérivable et que f' est continue .

1)Expliquer pourquoi pour tous a et b de I , si y vérifie f'(a) < y < f'(b) alors il existe c dans I tel que f'(c) = y .

( pour les opérateurs booléens ce sont inférieur ou égal ) .

Voici ce que je propose comme réponse : on voit que f' est continue et strictement croissante , donc ya forcément un nombre c tel que f'(c) = y .

Est ce convaincant comme explication?

merci de votre aide .

[Nightmare]

Bonsoir,

ben c'est le théorème des valeurs intermédiaires non?

[Joker62]

Oui niveau terminal avec le théorème des valeurs intermédiaire...

Edit : Méchant Nightmare ! :)

[georgess]

oui nightmare c'est juste , donc j'ai juste à dire d'après le théorème des valeurs intermédiaires , f'(c) = y , en précisant bien que f' est continue est dérivable ?

[Joker62]

f ' dérivable ???

[georgess]

f continue pardon joker lol , donc je cite le théorème des valeurs intérmédiaires en précisant bien que f' est continue ?

[Joker62]

On applique le TVI à f ' oui...

[georgess]

parfait , alors plus que 2 petites questions :

2)on considère la fonction h: R --> R par h(x) = x² sin(1/x) pour x différent de 0 et h(0) = 0 . Montrer que h est dérivable sur R\(0) et calculer sa dérivée sur cet ensemble .

Alors sin(1/x) est une fonction composée de fonctions usuelles , qui sont dérivables , donc sin(1/x) est dérivable .
x² est un polynome et est dérivable sur R .

Donc le produit de 2 fonctions dérivables est une fonction dérivable . Je pense que c'est suffisant comme justification , pas besoin de calculer les limites à droite et à gauche . ( je me trompe peut etre ) .

La dérivée que je trouve c'est 2x * sin(1/x) + ln(cos(1/x)) .

Etes vous d'accord ?

[Elvix]

Je ne suis pas d'accord avec ta dérivée :triste:

[georgess]

je corrige h'(x) = 2x sin(1/x) - 1/x² * cos(1/x) , tu es d'accord là?

[Elvix]

Nope...tu en as oublié un morceau en cours de route

[Joker62]

Non.

la dérivée de la composée du sinus est bonne
Mais tu as oublier un terme dans (uv)' = u'v + uv'

[georgess]

alors là je vois pas , on a bien f'(x) g(x) + f(x) g'(x) , franchement je ne vois pas...

[georgess]

ah oui lol , c'est 2x sin(1/x) - cos(1/x) :)

[Elvix]

Ouais! Bravo

[georgess]

donc j'attaque la dernière question :

Montrer que h est dérivable en 0 et calculer h'(0) . h' est elle continue en 0 ?

On sait qu'une fonction est dérivable si la fonction U f(x) - f(a) / x - a a une limite quand x tend vers a . Mais bon ici ça me servirait trop à rien d'écrire cette égalité .

Je pense à une autre méthode : 2x est dérivable en 0 ça ok , sin(1/x) est dérivable en 0 quand quand x tend vers 0 , la limite à droite et à gauche et la meme , pareil pour cos(1/x) . et d'après le théorèmes sur les opérations algébriques la fonctionh serait dérivable ?

je suis pas très convaincu mais bon j'aimerais votre avis svp .

[Joker62]

Ta formule de dérivée est valable sur R\{0}
Tu peux pas t'en servir pour démontrer la dérivabilité.

Il faut obligatoirement revenir à la définition du taux d'accroissement.
ça va aller tout seul courage ;)

[georgess]

je n'ai jamais su utiliser le taux d'accroissement , on m'en parle tjs mais j'ai jamais eu un seul cours dessus :( et j'ai été voir sur google je vois pas comment ça peut m'aider ici...

[Elvix]

C'est ce que tu présentais comme ta première méthode dans ton dernier post.

[Joker62]

Une fonction f est dérivable en x_0 si et seulement si existe et est finie. Dans de telles conditions, on écrit f'(x_0) sa dérivée.

Commence par calculer et fait tendre x vers 0