Dérivabilité , analyse

par **georgess** » 04 Fév 2008, 20:54

ok , alors si je calcule f(x) / x ça nous donne :

2 sin(1/x) - cos(1/x)

quand x tend vers 0 , on peut pas savoir sur quelle valeur oscille sin(1/x) , je crois que ça oscille , donc j'en choisis une arbitrairement , par exemple quand x tend vers 0 , sin(1/x) tend vers 1 , et donc cos(1/x) tend vers -1 , ici ça me donnerait 3 quand x tend vers 0 et donc c'est pas dérivable , je me suis trompé quelquepart .

par **Elvix** » 04 Fév 2008, 20:57

Tu as calculé h'(x)/x là...

par **Joker62** » 04 Fév 2008, 20:57

f(x) = h(x) = x²sin(1/x) non ?

par **georgess** » 04 Fév 2008, 21:01

oui oh la la je suis tête en l'air :( , donc oui la fonction h(x) est x² sin(1/x) .

f(x) / x = x sin(1/x) .

quand x tend vers 0 , la fonction f(x)/x tend aussi vers 0 vu que x = 0 et que sin(1/x) oscille entre -1 et 1 , la fonction est bien dérivable :) .

h'(0) = ? difficile à dire vu que -cos(1/x) oscille , c'est soit -1 , soit 1 , très curieux comme résultat :)

par **georgess** » 04 Fév 2008, 21:45

on peut pas avoir donc de certitudes sur h'(0) ?

par **georgess** » 04 Fév 2008, 22:55

quelqu'un peut il m'aider à conclure car j'ai fini l'exercice mais je cherche et je ne vois pas du tout comment calculer h'(0) .

par **Nightmare** » 05 Fév 2008, 00:16

Re bonsoir.

Au voisinage de 0 on a

D'où

Par conséquent

On en déduit que h est dérivable en 0 et que h'(0)=1 (résultat venant de la proposition : f dérivable en 0 si et seulement si f(x)=a+bx+o(x). Alors b=f'(0))

par **georgess** » 05 Fév 2008, 00:21

salut nightmare , alors je vois que tu as utilisé les développements limités pour montrer que la fonction est dérivable , néanmoins je pense que ce que j'ai écrit pour montrer que la fonction était dérivable n'est pas faux non plus ? ( tu sais le f(x) / x avec le calcul de limite ) .

sinon j'ai compris merci beaucoup .

par **Nightmare** » 05 Fév 2008, 00:23

Non en effet, mais les taux d'accroissements font partis de la vieille école, un DL est tellement plus élégant :lol2:

par **georgess** » 05 Fév 2008, 00:26

ok et bien merci à tous pour votre aide :)

par **georgess** » 05 Fév 2008, 01:32

au fait h' est bien continue en 0 ?

par **georgess** » 05 Fév 2008, 01:36

je dirai non car quand x tend vers 0 , h' tend vers 1 .

par **georgess** » 05 Fév 2008, 01:37

d'un autre coté toute fonction dérivable est censée etre continue donc que choisir...

par **Elvix** » 05 Fév 2008, 01:58

@nightmare: doucement sur les dvl jeune padawan. :triste:
Ce que tu as écrit est faux, car sin x= x+o(x) en 0!
or 1/x ne tend certainement pas vers 0 en 0.
Dire que sin(1/x)= 1/x+o(1/x) est aberrant! il n'y a pas d'équivalent de sin (1/x) en 0, la fonction devient de plus en plus oscillante, et n'a surtout pas pour limite +infini comme le semble le dire ton développement.

par **Elvix** » 05 Fév 2008, 02:01

Bon, georgess, on va en finir:
[h(x)-h(0)]/(x-0)=xsin(1/x).
sin est bornée, et x tend vers 0. donc la limite vaut 0.
Donc h'(0)=0.
Point final. Et surtout pas de développements limités!

par **georgess** » 05 Fév 2008, 02:06

elvix oui c'est ce que j'avais écrit mais je peux pas me permettre là de dire qui a tort ou raison , c'est à vous 2 de régler ça , et h' est elle continue en 0 ?

par **Elvix** » 05 Fév 2008, 02:19

A mon sens, elle n'est pas continue dans la mesure où lim h'(x) pour x->0 n'est pas égal à h'(0). Néanmoins je ne suis pas absolument sûr de moi sur ce coup-là.

par **georgess** » 05 Fév 2008, 02:22

oui et comme d'un autre coté toute fonction dérivable est continue , il faut que quelqu'un tranche :)

par **Elvix** » 05 Fév 2008, 02:24

on a dit que h était dérivable, donc continue, mais on ne sait rien de la dérivabilité de h'.
Donc mon raisonnement tient debout.

par **Nightmare** » 05 Fév 2008, 13:22

Aie l'erreur de débutant... Evidemment, désolé Georgess je me disais qu'un truc clochait.

Merci pour la correction Elvix

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