Dérivabilité

[pluie2]

Bonjour,

J'aimerais avoir une démonstration du théorème des accroissements finis (égalité) je ne parviens pas à en trouver une correcte sur internet ou du moins compréhensible ! Pouvez vous me donner un lien clair ?

Autrement, j'aimerais avoir une aide ici:

Montrer qu'il existe un unique c de [0,1] tel que cos(c)=c. On considère la suite u telle que u_0=0 et pour tout n entier naturel, u_(n+1)= cos(u_n) (on utilisera une démonstration tel que pour tout n de N, u_n est dans [0,1]). Montrer que pour tout n entier naturel, |u_(n+1)-c|<= sin(1)|u_n-c|

je ne sais pas comment faire pour démarrer l'exercice. faut ilse servir de Rolle ?

merci de m'aider :hein:

[Thomas Joseph]

Enoncé un peu rapide et incomplet, difficile pour moi de t'aider.
Pour la question sur la dernière ligne, comment c est-il défini ?
As-tu déjà montré son existence ?

Dans l'affirmative cette dernière question est assez immédiate via l'inégalité des accroissements finis

[pluie2]

j'ai mis pourtant l'énoncé en entier

non je n'ai pas montré son existence mais je pense qu'il faut s'aider de la première question où on dit que c appartient à [0,1]

[Thomas Joseph]

Ok, je n'avais pas compris comment étaient séparées les questions.

Donc :
pour la question 1 : tu pourrais par exemple étudier f(x)=cos(x)-x (utiliser le théorème des valeurs intermédiaires)
pour la question 2 : c'est une application immédiate de l'inégalité des accroissements finis

[wserdx]

Pour la première question, théorème des valeurs intermédiaires appliqué à cos(x)-x sur [0,1] + monotonie (unicité). Pour la deuxième, théorème des accroissements finis, appliqué à cos(x) sur [c,u_n].

[pluie2]

d'accord donc pour la 1)

f(x)=cos(x)-x
f'(x)=-sin(x)-1=-(sin(x)+1)
f'(x) s'annule pour x=3pi/2 et est négative donc f(xà est strictement décroissante sur [0;2pi] donc d'après le TVI, il existe un unique c tel que cos (c)=c

je ne usis pas sure pour la rédaction

pour la dernière question, je ne vois pas comment faire malgré votre indication...

[Ben314]

Salut,

Si h est une fonction réelle continue sur un intervalle fermé [a,b] (avec ah(a)=h(b). Soit alors c dans [a,b] tel que h(c)=M.
Comme h(c)>h(a)=h(b) on a forcément a=h(x) donc h(c)-h(x)>=0.
Si de plus x0 donc (h(c)-h(x))/(c-x)>0 et, en faisant tendre x vers c, on en déduit que h'(c)>=0
Remarque : de tels x existent vu que c>a et la limite existe vu qu'on a supposé h dérivable sur ]a,b[)
De même, si x>c alors (h(c)-h(x))/(c-x)<0 et en faisant tendre x vers c on en déduit que h'(c)<=0.
Bilan : h'(c)=0.

Remarque : Contrairement à ce théorème très simple à démontrer (et donc il faut connaitre la preuve), le théorème disant que l'image d'un intervalle fermé borné est lui même fermé borné est "assez technique". . .

Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle fermé [a,b] (avec a<b) et dérivable sur ]a,b[.
Il existe alors un réel c dans ]a,b[ (en général non unique) tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

Preuve : on pose h(x)=f(x)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a).
On a donc h(a)=f(a) et h(b)=f(b)-[f(b)-f(a)]=f(a) et h est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ : on peut donc appliquer le théorème de Rolles à h.
On en déduit qu'il existe c dans ]a,b[ tel que h'(c)=0.
Or h'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a) donc f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Remarque : Encore très simple à démontrer donc... il faut savoir retrouver la preuve. . .

[Thomas Joseph]

1) Tu travailles sur [0;1], donc ne parle pas de 3pi/2
2) Pour appliquer le TVI et conclure à l'annulation de f en un point il faudrait d'abord étudier le signe de (par exemple) f(0) et f(1)
3) Pour la question suivante :
utilise que Un+1-c=cos(Un)-cos(c) tu peux alors majorer comme te le demande l'énoncé (après avoir déterminé un majorant de la dérivée de la fonction cos sur [0,1]) en appliquant l'inégalité des accroissements finis.

[pluie2]

merci pour votre explication mais ces "preuves" ne sont pas des démonstrations ?

[pluie2]

f(0)=1
f(1)=-2
?

u_(n+1)-c=cos(u_n)-cos(c)

sur [0,1], un majorant de cos(c)=
comment pouvoir le déterminer?

désolé je ne comprends pas trop cette question

[Ben314]

merci pour votre explication mais ces "preuves" ne sont pas des démonstrations ?

?????

Je jette l'éponge...

[Thomas Joseph]

Ton f(1)=-2 est faux, reviens à la définition de f
Relis ton cours relatif à l'inégalité des accroissements finis.
C'est un majorant de la valeur absolue de la dérivée !!! de la fonction cos qu'il faut déterminer sur [0;1]

[pluie2]

ok donc :

déjà pour la 2 : f(1)=0 donc fonction décroissante
ensuite pour 3.
f'(x)=-sin(x) sur [0,1]. un majorant est donc f'(1) ou f'(0) or f'(0)=0 et f'(1)=0
donc le majorant n'est ni 0 ni 1...

[Thomas Joseph]

f(1)=cos(1)-1 ... ce n'est pas 0.
f'(1)=-sin(1) ... ce n'est pas non plus 0

Je ne comprends pas ce que tu fais.

[pluie2]

je ne comprends pas :
f(1)=cos(1)-1 or cos(1)=-1 donc f(1)=-2 mais vous m'aviez dit que c'était faux...

sin(1) vaut 0 pourtant ?

[Thomas Joseph]

Mais .... cos(1) n'est pas égal à -1 !!!
sin(1) n'est pas égal à 0 !!!

j'ai comme l'impression que tu confonds 1 et pi :)

[pluie2]

oui désolé (fatigue)

je reviens demain je vais essayer de réfléchir !