Dérivabilité

[marcopolo20]

Bonjour,

f(x)=x²ln(1+(1/x)) si x>0

Je dois étudier la dérivabilité de f à droite en 0 en remarquant que ln(1+(1/x))=ln(x+1)-ln(x).
Je trouve que f est dérivable à droite en 0 mais d'après la suite de l'exercice cela ne devrait pas être le cas.

Merci de votre aide

[barbu23]

Bonjour,




ça marche ou non ? :hein:

[Robic]

Bonjour ! J'ai trouvé f(0)=0, puis [f(h)-f(0)]/h --> 0, donc f'(0)=0. Mais je ne me suis pas servi de la formule ln(1+(1/x))=ln(x+1)-ln(x), j'ai fait un changement de variable y=1/x dans le calcul de la limite. Par exemple pour la dérivée :






Je trouve même que la dérivée est continue. En effet, elle vaut (sauf erreur de calcul), pour x>0 :


(Erratum : il n'y a pas de carré au dénominateur du deuxième terme.)

Le premier terme tend vers 0 (même calcul que ci-dessus), et le deuxième terme tend vers 0 aussi. Donc la limite de f'(x) quand x tend vers 0+ coïncide avec f'(0) : f' est donc continue (à droite) en 0.

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
Je ne comprends pas de quoi tu parles exactement. D'où sort là ? et pourquoi il y'a ?

[barbu23]

n'est pas égale à . On ne peut pas calculer la valeur de en parce que n'est pas définie en , donc n'existe pas..
s'écrit : , et si on met , on va avoir à l’intérieur de l'expression de qui n'a pas de sens, car on ne divise jamais par .

[Robic]

Si : f se prolonge par continuité en 0 et f(0) = 0. La question est de savoir si le taux d'accroissement en 0 admet une limite.

[barbu23]

Si : f se prolonge par continuité en 0 et f(0) = 0.

Montre moi comment tu fais ça. :happy3:
Parce que moi je ne vois pas de prolongement par continuité en de . :mur:

[adrien69]

C'est la magie des croissances comparées mon cher barbu23.

[barbu23]

Oui, c'st vrai, tu as raison :

Attend, je vais réfléchir à ton problème. :happy3:

[Robic]

Montre moi comment tu fais ça.

Avec le même changement de variable :

[barbu23]

Mais quelle est ta question en fait ?
Parce que tu connais déjà la solution à ton problème. Je suis complètement perdu. :hum:

[Robic]

Nous devions confirmer que f est dérivable à droite en 0. Il paraît que la suite du problème suggère que non.

[barbu23]

Ah d'accord, j'ai mal lu la question, je croyais que tu cherchais la limite de en . Je suis un peu étourdi aujourd'hui. :mur:
Excusez moi pour ce dérangement.

[barbu23]

Bonjour ! J'ai trouvé f(0)=0, puis [f(h)-f(0)]/h --> 0, donc f'(0)=0. Mais je ne me suis pas servi de la formule ln(1+(1/x))=ln(x+1)-ln(x), j'ai fait un changement de variable y=1/x dans le calcul de la limite. Par exemple pour la dérivée :






Je trouve même que la dérivée est continue. En effet, elle vaut (sauf erreur de calcul), pour x>0 :


Le premier terme tend vers 0 (même calcul que ci-dessus), et le deuxième terme tend vers 0 aussi. Donc la limite de f'(x) quand x tend vers 0+ coïncide avec f'(0) : f' est donc continue (à droite) en 0.

Ce que tu écris là est juste à mon avis.

[barbu23]

Bonjour ! J'ai trouvé f(0)=0, puis [f(h)-f(0)]/h --> 0, donc f'(0)=0. Mais je ne me suis pas servi de la formule ln(1+(1/x))=ln(x+1)-ln(x), j'ai fait un changement de variable y=1/x dans le calcul de la limite. Par exemple pour la dérivée :






Je trouve même que la dérivée est continue. En effet, elle vaut (sauf erreur de calcul), pour x>0 :


Le premier terme tend vers 0 (même calcul que ci-dessus), et le deuxième terme tend vers 0 aussi. Donc la limite de f'(x) quand x tend vers 0+ coïncide avec f'(0) : f' est donc continue (à droite) en 0.

Cela me semble correct à première vue.
Mais ici :
non ?

[marcopolo20]

Merci beaucoup pour les réponses.
Vous avez bien compris la question.
Nous trouvons bien la même chose mais on me demande ensuite l'équation de tangente en 0.
Serait-ce alors y=f'(a)(x-a)+f(a).
Et l'on trouve y=0 sachant que f(0)=0.
Il faut donner la position de la courbe par rapport à la tangente et je ne vois pas comment faire.

Merci de votre aide

[barbu23]

existe, car existe. donc, est pas dérivable en .
Cordialement. :happy3:

[marcopolo20]

Non, n'existe pas, car n'existe pas.

Mais si f est dérivable en 0 alors f'(o) existe ; car f(x)=e^1/x si x<0 et j'ai trouver que f est dérivable à gauche en 0.

[barbu23]

excuse moi, j'ai corrigé. :mur:
Regarde maintenant !?! :zen:

[Robic]

Barbu23 : tu as raison pour la dérivée, j'ai corrigé. Ceci dit ça ne change rien à la limite.

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que ce n'est pas dérivable en 0. La dérivée en 0 est égale à la limite du taux d'accroissement en 0 lorsqu'elle existe, et celle-ci existe en effet : elle vaut 0 quand x tend vers 0+, donc c'est dérivable à droite.

Le calcul de f' pour x>0 puis de sa limite en 0+ ne sert qu'à vérifier que la dérivée est continue en 0+, ce qui n'est pas demandé je crois.

[Je crois que je m’emmêle les pinceaux quelque part : j'ai du mal à imaginer que f' ne soit pas continue à partir du moment où l'on définit f'(0) à droite. Pourtant c'est comme ça qu'on fait d'habitude quand il faut prolonger une fonction...]

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Marcopolo : pour l'équation de la tangente, pas besoin d'utiliser la formule ! Elle passe par l'origine (puisque f(0)=0) et elle est horizontale (puisque f'(0)=0) donc c'est l'axe des abscisses ! Son équation est : y=0.

Au fait, tu nous disais que d'après l'exercice ça ne devait pas être dérivable à droite en 0. Tu ne peux pas dire ça alors que l'exercice demande la tangente en 0 : une telle question, en effet, implique que c'est dérivable en 0 !

Autre chose : f n'est pas dérivable à gauche en 0 puisque f n'est pas définie à gauche en 0 puisque 1+1/x est strictement négatif sur ]-1;0[ !

Pour la position de la courbe au-dessus de la tangente, la méthode générale est d'étudier le signe de f(x)-(ax+b) où y=ax+b est l'équation de la tangente. Là, c'est plus simple que ax+b. Du coup tu dois juste étudier le signe de...