Dérivabilité

[marcopolo20]

J'ai compris.

Merci

[barbu23]

Ce n'est pas dérivable en , parce que, je pense qu'on ne peut calculer la limite de qu'en et non en , non ?
Pour que ça soit dérivable en , il faut que , non ?
Or, on ne peut pas calculer pour savoir. :happy3:

[marcopolo20]

Ce n'est pas dérivable en , parce que, je pense qu'on ne peut calculer la limite de qu'en et non en , non ?
Pour que ça soit dérivable en , il faut que , non ?
Or, on ne peut pas calculer pour savoir. :happy3:

Oui mais f est dérivable en 0 à gauche et à droite donc f est dérivable en 0

[barbu23]

Oui mais f est dérivable en 0 à gauche et à droite donc f est dérivable en 0

Mais il faut avoir , non ? ça c'est indispensable je pense pour dire que est dérivable en .
Parce que ,même si si , ce n'est pas dérivable en .
Si on n'a que , pour dire que est dérivable en , il faut ajouter que est continue, est ce qu'on sait si est continue ?

Edit : Il se peut que je me trompe, à vous de me corriger, car je ne sais pas ce qui se trouve dans votre manuel. Parce que vous avez raison, moi aussi je me souviens avoir vu ça plusieurs fois dans les cours de lycée. Alors, il se peut que ce que je dis est faux. :happy3:

Edit : Je n'arrive pas à croire ça, car j'ai foutu la bordel tout au long de ce thread. J'ai un peu honte. Excusez moi, je vais me retirer de ce topic.

[marcopolo20]

Mais il faut avoir , non ? ça c'est indispensable je pense pour dire que est dérivable en .
Parce que ,même si si , ce n'est pas dérivable en .
Si on n'a que , pour dire que est dérivable en , il faut ajouter que est continue, est ce qu'on sait si est continue ?

f(0)=0=limite taux d'accroissement à droite et à gauche

[barbu23]

f(0)=0=limite taux d'accroissement à droite et à gauche

Tu as ça dans ton cours ? si alors est dérivable en ? Juste pour vérifier.
Tu as ça ou bien tu as ça ?

[marcopolo20]

Tu as ça dans ton cours ? si alors est dérivable en ? Juste pour vérifier.
Tu as ça ou bien tu as ça ?

f_g' (x) = f_d' (x)

[barbu23]

Alors, c'est moi qui me trompe. :hum: :cry:
Bon, je vous laisse, il se trouve que je dois revoir mes cours si j'ai besoin de continuer à intervenir sur le forum désormais. Excusez moi. @+

[Robic]

Attention : f n'est pas dérivable à gauche en 0 puisque f n'est même pas définie à gauche de 0 !!!!

Ensuite, si f est dérivable à droite mais pas à gauche, effectivement il me semble qu'on ne dit pas que f est dérivable. Mais ça intervient surtout dans le contexte de fonctions où les dérivées sont différentes à gauche et à droite (par exemple la fonction valeur absolue en 0). Or là, on a même une inexistence de dérivée à gauche.

Mais bon, je crois qu'en effet f n'est pas dérivable :
- elle est dérivable à droite (la limite à droite du taux d'accroissement existe),
- elle n'est pas définie à gauche (l'argument du logarithme étant strictement négatif),
- donc elle n'est pas dérivable.

(Sous réserve que je ne dise pas de bêtise...)

[barbu23]

Et quelle est la dérivée de en ?
est t-elle dérivable en ?
On a en fait : , non ?
J'espère que je ne fous pas le bordel à nouveau dans ce topic. Mais, moi aussi j'ai envi de comprendre, donc je peux faire des erreurs, ça doit pas vous déranger autant, non ? :we:

[Robic]

Oui, H est un autre exemple de fonction dérivable à droite (mais pas à gauche) mais pas dérivable tout court. La différence avec f, c'est que f n'est pas définie à gauche, donc on ne se pose pas la question de savoir si les dérivées de chaque côté coïncident...

Je suis maintenant convaincu que, en effet, on ne doit pas dire que f est dérivable en 0, juste que f est dérivable à droite en 0. Bon, c'est une question de vocabulaire, il faut juste vérifier la définition. Dans cet exercice, l'important était de constater que c'était dérivable à droite, ce qui n'était pas évident puisqu'il s'agissait d'un prolongement par continuité.

Pour la défintion, voir par exemple la deuxième page de ce cours http://bkristof.free.fr/coursexercices/Cours%20-%20Derivabilite.pdf. Mais il n'aborde pas la question (est-ce que "dérivable à droite", c'est dérivable ?). Je pense qu'en fait personne ne se la pose (je ne me la suis jamais posée) parce que lorsqu'on étudie une fonction dérivable d'un seul côté, on dit "dérivable à gauche (ou droite)" et c'est tout.

En fait on a vu dans cette discussion trois cas possibles (avec problème en 0) :
- La fonction valeur absolue (j'y ai fais allusion plus haut) : elle est dérivable à gauche et à droite mais les dérivées ne coïncident pas, donc elle n'est pas dérivable tout court.
- La fonction H : elle est dérivable à droite mais pas à gauche (la limite du taux d'accroissement est infinie), donc elle n'est pas dérivable tout court.
- La fonction f : elle est dérivable à droite mais pas définie à gauche, donc elle n'est pas dérivable tout court.

[barbu23]

Il me semble que est dérivable à droite et à gauche et , non ? mais pas dérivable en .
Pourquoi ce n'est pas dérivable à gauche en Robic ?

Edit : Oui, c'est vrai, tu as raison. :happy3:

[barbu23]

Connaissez vous un exemple de fonctions où et ou ? ça peut pas exister ? Pourquoi ça peut pas exister ? :hein:

[Robic]

Essaie f(x) = x² sin(1/x) pour x<>0 et f(x) = 0 si x=0. Il me semble que f est dérivable en 0, mais la dérivée n'est pas continue en 0. (Je vais le refaire pour vérifier...)

(De façon générale, il me semble que x-->x^n sin(1/x), est non continue en 0 si n=0, continue mais pas dérivable en 0 si n=1, dérivable en 0 mais de dérivée non continue si n=2, de classe C1 si n=3, et ainsi de suite : chaque fois que la puissance augmente, on gagne de la régularité.)

Edit : je viens de le refaire, c'est bien ce que tu cherchais :
- Le taux d'accroissement en 0 tend vers 0, donc f'(0) = 0.
- Si x<>0 on a : f'(x) = 2x sin(1/x) - cos x, dont la limite en 0 est égale à -1 (à gauche comme à droite).

Re-edit : ah oui, c'est cos(1/x), donc il n'y a pas de limite à gauche et à droite (bien que ce soit dérivable en 0).

[barbu23]

Merci tenor des maths. :lol3:

[adrien69]

Edit : je viens de le refaire, c'est bien ce que tu cherchais :
- Le taux d'accroissement en 0 tend vers 0, donc f'(0) = 0.
- Si x0 on a : f'(x) = 2x sin(1/x) - cos x, dont la limite en 0 est égale à -1 (à gauche comme à droite).

-cos(1/x) !!!

Donc pas de limite plutôt que limite -1

[adrien69]

Donc même pas C1 par morceaux :)