Caractérisation de la dérivabilité.

[un_homme]

Salut,


Je cherche une caractérisation globale de la dérivabilité, comme la topologie à put en produire pour la continuité.

1/J'ai trouvé cela :

Cette condition est nécessaire, mais je ne sais pas si elle est suffisante.

2/Soit f dérivable sur une boule de a-t-on, pour a dans la boule à un rang d'au plus n.

Merci.

[SLA]

Salut,


Je cherche une caractérisation globale de la dérivabilité, comme la topologie à put en produire pour la continuité.

1/J'ai trouvé cela :

Cette condition est nécessaire, mais je ne sais pas si elle est suffisante.

2/Soit f dérivable sur une boule de a-t-on, pour a dans la boule à un rang d'au plus n.

Merci.

Salut,
1)si et on vérifie ta propriété, mais la fonction n'est pas dérivable en 0.
En plus comme tu cherches une caractérisation globale, il faudrat peut-être préciser le petit o.
2) Oui, mais c'est un résultat d'algèbre linéaire. si est un morphisme d'un EV dimension n dans un EV de dimension m, alors son rang est au plus .
Cordialement

[un_homme]

1/Non, il faut que cela marche pour tout (a,b) dans une boule fermé.
en prenant b=-a on obtient |a|<=o(|a|) pour tout a dans un voisinage de 0, ce qui est faux.

2/ je fais référence à l'ensemble : {df(a)|a dans la boule} dans R^(n*n) est-il de rang n.
Si f C^2, alors sur la boule fermée o(|a-b|)=M*|a-b]^2.

[SLA]

1/Non, il faut que cela marche pour tout (a,b) dans une boule fermé.
en prenant b=-a on obtient |a|<=o(|a|) pour tout a dans un voisinage de 0, ce qui est faux.

2/ je fais référence à l'ensemble : {df(a)|a dans la boule} dans R^(n*n) est-il de rang n.
Si f C^2, alors sur la boule fermée o(|a-b|)=M*|a-b]^2.

1)On en vient à ce que je disais par "préciser le petit o". J'aurais besoin des quantificateurs. Je pense par ailleurs que tu as fais l'erreur habituelle de mettre un alors que c'est .
Bref, étant donné ton dernier message, peux-tu me dire quelle propriété est vérifiée selon toi: désignera toujours une fonction qui tends vers 0 en 0.
-
-
-

2)Je ne comprends plus ta question. Au départ il était question d'un "au plus n", maintenant c'est "exactement de rang n". Par ailleurs, qu'appelles-tu le rang d'un ensemble d'applications linéaires?

[un_homme]

1)On en vient à ce que je disais par "préciser le petit o". J'aurais besoin des quantificateurs. Je pense par ailleurs que tu as fais l'erreur habituelle de mettre un alors que c'est .
Bref, étant donné ton dernier message, peux-tu me dire quelle propriété est vérifiée selon toi: désignera toujours une fonction qui tends vers 0 en 0.
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2)Je ne comprends plus ta question. Au départ il était question d'un "au plus n", maintenant c'est "exactement de rang n". Par ailleurs, qu'appelles-tu le rang d'un ensemble d'applications linéaires?

1/On peut utiliser l'égalité de Mac Laurin en supposant que, il existe dans la boule fermé :


Et on fait la même chose pour d'où l'inégalité :
avec un majorant de avec

2/Excuses moi, de rang au plus n, une application linéaire est aussi une matrice qui est aussi un élément de

[SLA]

1/On peut utiliser l'égalité de Mac Laurin en supposant que, il existe dans la boule fermé :


Et on fait la même chose pour d'où l'inégalité :
avec un majorant de avec

2/Excuses moi, de rang au plus n, une application linéaire est aussi une matrice qui est aussi un élément de

Si ta preuve utilise le fait que tu es C^2, alors il parait peu raisonnable d'espérer avoir une caractérisation de la dérivabilité.
Parmi les trois versions de ta propriété que je t'ai proposée, je pense que (j'ai pas essayé la preuve, mais je crois avoir l'idée)
la première est vraie si f est dérivable
la seconde est vraie si f est C^1

2) dans ce cas qu'appelles tu le rang d'un ensemble d'applications linéaire: {df(a)|a dans la boule} ?

[un_homme]

1/pour tout e>0, il existe t>0 tel que pour tout a,b avec |a-b|2/rang(A)=dim(Vect(A)).

[mathelot]

Je cherche une caractérisation globale de la dérivabilité, comme la topologie a pû en produire pour la continuité..

on a la dérivabilité au sens des distributions, et d'une, et une dérivabilité "algébrique" d'autre part,
où la fonction et sa meilleure approximation affine ont une racine double commune.
Après, s'il faut aller voir les germes de fonctions...

[un_homme]

Si la conjecture que j'ai posté est exacte alors l'on a une caractérisation globale, simple, de la dérivabilité.

[SLA]

Si la conjecture que j'ai posté est exacte alors l'on a une caractérisation globale, simple, de la dérivabilité.

Salut,
Je reviens à la charge.
Concernant la question 2), il n'y a aucune raison que le rang, tel que tu l'as décris ici:

1/pour tout e>0, il existe t>0 tel que pour tout a,b avec |a-b|0, il existe t>0 tel que pour tout a,b avec |a-b|<t on a o(|a-b|)<e*|a-b|
2/rang(A)=dim(Vect(A)).

que je traduis en

où tends vers 0 en 0, est faux.
Je pense qu'il faut supposer pour avoir un tel résultat.
Afin de préciser mes propos, je prends la fonction (et f(0)=0) pour a=0, b=2h, j'obtiens:

Or selon ce que tu dis, on aurait lorsque h tends vers 0.

En revanche, si on suppose toujours que f est dérivable (pas plus, puisque tu cherches une caractérisation) alors on a
je note pour bien signifier que la fonction dépends de a.