Inégalité

[Nathan_g]

Bonjour,

Je souhaiterais essayer de résoudre la seconde question du sujet de l'Olympiades 2008 de Mathématiques, portant sur une inégalité mais je ne vois pas comment faire :

x^2/(1-x)^2 + y^2/(1-y)^2 + z^2/(1-z)^2 >= 1

où x,y,z sont des réels différents de 1 tels que x y z = 1.

Auriez-vous une proposition de méthode ?

Bien cordialement,

Nathan_g

[Zweig]

Salut,

Je te copie/colle ma solution ("ma" méthode : réécrire l'inégalité comme une somme/quotient de carrés) postée sur un autre forum :

J'ai aussi fait la question 2), si tu butes dessus, n'hésite pas à demander.

[lapras]

salut
je trouves cette méthode trop bourrine.
Voici une qui me semble plus naturelle
soit a = x/(x-1), b=y/(y-1), c = z/(z-1)
abc = (a-1)(b-1)(c-1) = (a+b+c) - (ab+ac+bc) - 1 + abc => (a+b+c) - (ab+a+bc) = 1
on doit montrer a²+b²+c²>=1
or a²+b²+c² = (a+b+c)²-2(ab+bc+cb) = (a+b+c)²-2(a+b+c) + 1 +1 = (a+b+c-1)²+1 >= 1

[Zweig]

Elle est "bourrine" (encore que, tout est relatif ) certes, mais elle a le mérite de tenir sur une ligne :we:.

Sympa la tienne aussi.

Comme quoi, tout est relatif, pour toi ce changement de variable est naturel, alors que pour moi, en voyant tous ces carrés, la méthode qui me semble la plus naturelle c'est d'essayer de transformer l'inégalité (on obtenant une inégalité du type ) comme somme/quotient de carrés.

[lapras]

L'idée n'est pas bourrine (transformer en carré), mais c'est la manière de l'obtenir qui l'est vraiment : comment as tu obtenu cette facto ? en développant je pense et en factorisant. Si tu veux justifier la facto ca te prendra beaucoup de lignes.
Enfin tout est relatif :happy2:

[Zweig]

Oui, en développant et en factorisant bien sûr. Bah la justification ... elle est laissée au lecteur :zen: Non mais ce sont des identités du second degré, ça se développe rapidement. Puis l'inégalité est symétrique en ses variables : tu développes un truc, c'est la même chose avec le reste.

[lapras]

Mais pour obtenir cette factorisation, tu as du écrire beaucoup de lignes, c'est sur ! Enfin c'est pas grave, de toute manière le but c'est de résoudre l'exo mais je voulais juste proposer une autre méthode qui peut sembler plus immédiate. :we:

[guigui51250]

abc = (a-1)(b-1)(c-1)

comment as-tu fait parce qu'en développant je n'ai pas réussi à trouver cet égalité :hum:

[lapras]

abc = 1/(x-1)*1/(y-1)*1/(z-1)
or 1/(x-1) = x/(x-1) - 1
=> 1/(x-1) = a-1
d'où...

[guigui51250]

abc = 1/(x-1)*1/(y-1)*1/(z-1)
or 1/(x-1) = x/(x-1) - 1
=> 1/(x-1) = a-1
d'où...

ah ouiiiii mince j'avais pas vu ça comme ça lol :mur: :mur: :mur:

merci :++: