Inégalité de Carlson

par **Nightmare** » 16 Mar 2010, 16:44

Salut !

Je vous propose de démontrer l'inégalité suivante :

Amusez-vous bien !

:happy3:

par **Olympus** » 16 Mar 2010, 20:37

J'avais pensé direct à la formule de Leibniz, donc par C.S deux fois j'ai eu :

Mais à ma grande déception,

ne ressemble point à la formule de Leibniz pour

et c'est bien supérieur à

...

En tout cas la formule de Leibniz me parait l'élément clé pour prouver l'inégalité, je cherche encore !

par **Nightmare** » 17 Mar 2010, 13:38

Salut !

Qu'appelles-tu formule de Leibniz?

par **Olympus** » 17 Mar 2010, 14:10

Nightmare a écrit:Salut !

Qu'appelles-tu formule de Leibniz?

Bonjour !

Ceci :

.

par **Nightmare** » 17 Mar 2010, 14:16

D'accord, dans ce cas, je ne pense pas qu'on puisse l'utiliser.

par **Ben314** » 17 Mar 2010, 21:42

Juste pour ne pas dire que je fout rien, perso, dans ce problème, je suis plutôt en train de "me battre" avec des sommes du type :

et je pense que le

provient de

...

par **poiuytreza** » 17 Mar 2010, 21:54

Mais pourquoi tu vas chercher des trucs tordus comme ça ?
(surtout que des somme de carrés qui donnent du

on a plus simple quand même...)
Par contre si je me trompe pas on peut remplacer

par

par **Doraki** » 17 Mar 2010, 22:04

poiuytreza a écrit:Par contre si je me trompe pas on peut remplacer par

Dans le même genre on peut remplacer pi²/4 par (pi²/4)^(n-1) =)

par **Zweig** » 17 Mar 2010, 22:11

On montre aussi :

par **Ben314** » 18 Mar 2010, 00:54

Bon, finalement, j'arrive à conclure avec ma méthode un peu bourrin :
j'évalue le Max du quotient des deux morceaux (sans le pi/4) puis j'utilise la somme donnée ci dessus pour majorer par pi²/4 (il y a un petit détail technique un peu chiant...)
Vu la deuxième inégalité proposé par Zweig, je pense que ma méthode n'est pas la plus simple, vu que dans le cas de son inégalité, il me semble que j'obtient comme Max une quantité bien plus complexe que (2Arctan(m))² et de nouveau, pas super façile à majorer...

Je regarde demain si j'arive à obtenir (2Arctan(m))² avec ma méthode...

par **poiuytreza** » 18 Mar 2010, 20:33

Doraki a écrit:Dans le même genre on peut remplacer pi²/4 par (pi²/4)^(n-1) =)

Désolé, je me suis gouré de sens... :briques:

par **Olympus** » 18 Mar 2010, 21:45

Ben, après avoir vu une démonstration par Hardy d'une autre inégalité très similaire attribuée aussi à Carlson, je suis découragé ... ( intégrales et tout... et la démo de Hardy est en plus la plus simple apparemment ! )

Donc j'abandonne moi car c'est pas du tout de mon niveau :-/

Bonne chance aux autres !

par **Ben314** » 18 Mar 2010, 21:51

Perso, j'utilise pas d'intégralles, je peut même à la rigueur me contenter de cauchy-schwarz pour établir la "bonne" majoration.
Par contre, pour calculer la somme dont je parle dans mon premier post, j'utilise le théorème des résiduts...

par **Ben314** » 22 Mar 2010, 00:05

Par contre, pour l'inégalité de Zweig, je m'en sort avec seulement Cauchy-Schwarz (sans t, comme tout le monde le sait...) puis une comparaison somme/intégrale.

Inégalité de Carlson

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