Inégalité

par **yos** » 24 Nov 2006, 15:17

Bonjour.
Je propose l'exercice suivant :

Trois réels a, b, c, sont tels que

Démontrer que

.

par **Imod** » 28 Nov 2006, 00:57

J'ai commencé à regarder cet exercice ( intéressant ) ce soir , il me reste à démêler le cas épineux où a , b et c sont simultanément négatifs .

Imod

par **yos** » 28 Nov 2006, 14:53

J'ai trouvé une solution qui n'utilise pas le trinôme ax²+bx+c. Je dois passer à côté de quelquechose.

par **Imod** » 28 Nov 2006, 15:27

Une proposition de solution , en espérant ne pas m'être trompé avec toutes ces inégalités ( je n'utilise pas de trinôme non plus ) . Je pensais , j'espère à tort , que la fin ne marchait pas quand a , b et c étaient simultanément négatifs mais en fait il n'en est rien .

A/ On se place d'abord dans le cas a=c , il faut montrer que :si

,

.

1°) Si

alors

et

:

.

2°) Si

alors

.

a) Si

:

.

b) Si

alors

et

.

La propriété est donc établie dans tous les cas .

B/ Plaçons-nous maintenant dans le cas général , a , b , c donnés avec

et montrons que :

Remarquons tout d'abord que pour tous réels

:

.

Comme

,

donc

. On peut donc appliquer la partie A/ à

et

:

.

Imod

par **yos** » 29 Nov 2006, 21:31

Pas mieux :
j'ai évité la distinction de cas en raisonnant par l'absurde mais ça reste fastidieux.
Si l'inégalité est fausse, alors :
4a+4b+4c>9a, 4a+4b+4c>9b, et 4a+4b+4c>9c.
On en tire a<4b, a<4c, b<4a, b<4c, c<4a, c<4b puis a, b, c>0.
On peut alors majorer b²-4ac par 4ab-4ac et en déduire b>c, et de même b>a.
Avec 4a+4b+4c>9b on trouve a+c>5b/4, puis (a+c)²>25b²/9,
(a+c)²>25ac/4, et finalement (c/a)²-(17/4)(c/a)+1>0 On en déduit c/a hors de l'intervalle [1/4; 4], ce qui contredit les inégalités c<4a, a<4c.

Une solution courte reste à faire.

par **Imod** » 30 Nov 2006, 00:17

En tout cas le rôle du

reste mystérieux car ce n'est sûrement pas le meilleur majorant possible , 2 aurait aussi bien fait l'affaire .

Peut-être sommes nous tous les deux dans l'erreur ?

Imod

par **yos** » 01 Déc 2006, 14:23

Imod a écrit:En tout cas le rôle du reste mystérieux car ce n'est sûrement pas le meilleur majorant possible , 2 aurait aussi bien fait l'affaire .

Non : (a,b,c)=(1,4,4) montre que la constante est optimale.

par **Imod** » 01 Déc 2006, 16:25

En effet la constante est optimale et ma démonstration fausse . J'ai retrouvé l'erreur :

:--:
La dernière inégalité est à l'envers :briques:

Imod

par **MikO** » 01 Déc 2006, 20:34

salut yos ! ca faisait longtemps ...

et

tout part de la il me semble

par **yos** » 01 Déc 2006, 22:36

MikO a écrit:salut yos ! ca faisait longtemps ...

et

tout part de la il me semble

Salut (mais ton pseudo ne me dit rien).
C'est pas plutôt u+v=-b/a et uv=c/a ?
Et ensuite?

par **sandrine_guillerme** » 01 Déc 2006, 23:45

ah tiens ce n'est pas toi le célébre Mikou .. qui était proscris .. ??? :hum:

par **MikO** » 02 Déc 2006, 13:17

je ne sais pas si l'on peut dire 'celebre' mais c'est bien ca.
En effet yos :) jv essayer de retrouve la methode que javais utilisé

par **sandrine_guillerme** » 02 Déc 2006, 13:41

.. ça ne me derange pas du tout .. mais ça ne me derange pas du tout (réponse au message privé) au contraire .. il faut juste repecter sinon .. c'est dehors .. :we:
Bon courage pour ta méthode .

par **Imod** » 02 Déc 2006, 20:00

Je pense avoir trouvé une interprétation géométrique du problème ( qui lui donne tout son sens ) , je le poste dès qu'il fait moins d'une page :hein:

Imod

par **Imod** » 03 Déc 2006, 20:14

Une solution uniquement pour le cas où a , b et c sont positifs . On fixe b et d=a+c .

Si

alors

Si

. On considère un cercle (C) de rayon d de diamètre [BC] et (D) la parallèle à (BC) à la distance b de (BC) . Un point M se projette orthogonalement en H sur [BC] et N le symétrique de H par rapport à M on a : HB=2a , HC=2c et HN=2b . La condition

se traduit géométriquement par M est à l'extérieur de (C) . En considérant A le point d'intersection de (C) et (D) le plus proche de C , on a

et comme

,

et finalement :

.

En fin de compte , c'est quand même laborieux pour simplement une partie de la solution .

Imod

par **darkmaster** » 04 Déc 2006, 02:37

Dans le cas il y a un nombre négatif, c'est facile.
Par example, si

on a

Mais dans le cas

, je ne comprends pas encore la méthode de Imod. :marteau:

par **Imod** » 04 Déc 2006, 17:24

Je vais essayer d'être plus clair . Je me place dans le cas où a , b et c sont positifs et

. On peut supposer par exemple que

. On considère alors un triangle AMB de hauteur MH avec CH=2a , BH=2c et MH=b . La condition

est équivalente à M n'est pas à l'intérieur du disque de diamètre [BC] . Alors

ou encore

. Or

.

Imod

P.S : ta dernière inégalité est fausse si a , b et c sont tous les 3 négatifs .

par **darkmaster** » 04 Déc 2006, 20:24

Imod a écrit:P.S : ta dernière inégalité est fausse si a , b et c sont tous les 3 négatifs .

Oui, je veux ajouter: dans ce cas

Et maintenant je comprends ta méthode - très intéressante. J'aime toujours la méthode géométrique pour les problèmes d'algèbre.

par **Imod** » 04 Déc 2006, 23:51

Oui darkmaster . Nous voilà donc avec une solution complète plutôt sympathique .

Merci à yos pour ce joli problème :++:

Imod

par **sandrine_guillerme** » 05 Déc 2006, 01:21

J'ai une remarque (qui sert pas à grands choses mais bon .. ).. il y a une symétrie entre a et c , en d'autre termes l'exercice est aussi valable avec

ou

c'est curieux comme exo .
merci d'ailleurs :lol4:

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