Inégalité - Factorielle

par **Zweig** » 24 Juil 2009, 19:37

Salut !

Une inégalité que je viens d'inventer ... Soyez sympa, ne la tôrchez pas trop vite ...

Montrer que pour tout naturel strictement positif

, on a l'inégalité suivante :

[CENTER]

[/CENTER]

par **nodjim** » 24 Juil 2009, 20:02

Le 1er terme tend très vite vers 1 alors que le 3ème aurait plutôt tendance à tendre vers 0.
Le second terme est peut être juste là pour justifier l'inégalité des 1ers n ?

par **Zweig** » 25 Juil 2009, 13:46

J'ai pas trop saisis ce que tu viens de me dire :stupid_in .... Enfin, définis plus précisément les 1er, 2° et 3° termes.

par **Maks** » 25 Juil 2009, 13:54

Je pense qu'il parle du terme le plus à gauche, tu terme central, et du terme le plus à droite, dans ton inégalité.

par **Zweig** » 25 Juil 2009, 14:01

Oui, c'est bien ce que je pensais. Je ne sais pas trop quoi répondre car à la base, le membre de gauche vient d'une inégalité plus générale que j'ai gardée telle quelle en introduisant la factorielle ... Par contre, une étude empirique avec un tableur par exemple peut donner une idée de comment on attaque l'inégalité ...

par **Maks** » 25 Juil 2009, 14:19

Nodjim a raison : à partir de n=3 le terme central est inutile. Est-utile d'utiliser cela ?

par **Maks** » 25 Juil 2009, 14:23

Le terme de gauche est croissant, celui du milieu décroissant et le terme de droite est décroissant à partir de n=4. Je pense qu'on doit pouvoir s'en sortir avec tout ça. Je regarde.

par **Zweig** » 25 Juil 2009, 14:23

Disons que, de la manière dont j'ai démontré cette inégalité, il me faut le terme central ... Après, je n'ai jamais dit que le terme de droite était le plus "optimal", l'écart je crois est en effet assez large entre les 2 membres.

par **Maks** » 25 Juil 2009, 14:28

En effet, il semble tendre vers 1, ou une valeur supérieure à 1 (le terme de droite tend vers 0, alors que la somme tend vers 1, ou une valeur supérieure à 1).

par **Zweig** » 26 Juil 2009, 13:54

Suite à la demande de Maks, voir la correction ici

par **Zweig** » 26 Juil 2009, 14:06

Bon en fait il faut traiter pour la deuxième conjecture le cas n = 1 à part ...

par **Maks** » 26 Juil 2009, 14:22

Merci bien. En fait je suis pas trop fan de ce genre d'inégalités ... C'est plus des utilisations d'astuces que de la pure reflexion. Enfin c'est mon opinion.

par **Zweig** » 26 Juil 2009, 14:23

Sauf que l'astuce ne tombe pas du ciel (perso, je n'en vois pas dans ma démo ...), y a de la réflexion derrière que ne montre bien sûr pas la démonstration (c'est pas le but).

par **Maks** » 26 Juil 2009, 14:31

Oui, je suis d'accord, mais je veux dire que si tu ne penses pas à utiliser telle proprieté (inégalité de Bernoulli par exemple), alors tu n'as pas beaucoup d'autres possibilités de résoudre l'exercice. Après, je manque peut être d'entraînement pour ce genre d'exercice aussi ...

par **Zweig** » 26 Juil 2009, 14:35

Les inégalités, tout comme les équations fonctionnelles par exemple, demandent en effet de l'entraînement pour "voir" les choses ... Je pense que ça doit être faisable par récurrence. En tout cas, un correspondant sur MSN m'a dit qu'il avait réussi à la torcher avec les intégrales, j'attends sa démonstration.

par **Maks** » 26 Juil 2009, 14:45

Ouais, je suis plutôt d'accord avec toi ! C'est pour ça que ce genre d'exercice a plutôt peu de chance de tomber en oral de concours je crois ^^ Sinon, je suis preneur de la démonstration par les intégrales :++:

par **Zweig** » 26 Juil 2009, 14:52

Ah, détrompe-toi, ce genre d'exercices astucieux peut tomber dans les oraux des Grandes Ecoles. Par exemple, voici un exercice tombé à un oral d'Ulm, faisable par un Terminale S (théoriquement) et demandant de l'astuce :

Résoudre dans

:

Ou plus généralement, tu peux essayer aussi :

, avec

et

des naturel premiers.

Une inégalité sur les nombres complexes tombée à un oral de l'X (moins astucieuse c'est vrai) :

Soient et des complexes tels que

. Montrer l'inégalité suivante :

Mais bien sûr, pour ce genre d'exercice, je suppose que les examinateurs n'attendent pas à ce que tu les résous tout seul ...

par **Maks** » 26 Juil 2009, 15:03

Honnêtement, j'ai pas mal de bouquins d'oraux de concours (X-ENS), et ce genre d'exercice est quand même assez marginal. De plus, comme tu le dis, je pense qu'il est assez naturel de ne pas résoudre l'exercice sans indications (mais à ce niveau, est-ce anormal ? :cry: ). Enfin bref, toujours est-il que ce sont des exercices qui peuvent tomber, je te l'accorde !

Je vais regarder les exercices que tu as mis, ça sera toujours ça de pris :we:

par **egan** » 27 Juil 2009, 11:42

Zweig a écrit:Les inégalités, tout comme les équations fonctionnelles par exemple, demandent en effet de l'entraînement pour "voir" les choses ... Je pense que ça doit être faisable par récurrence. En tout cas, un correspondant sur MSN m'a dit qu'il avait réussi à la torcher avec les intégrales, j'attends sa démonstration.

J'ai essayé par récurence. J'ai très vite bloqué.
Je viens de regarder la démo. Très jolie coup !

par **Zweig** » 27 Juil 2009, 13:29

On pouvait aussi s'en tirer pour la première conjecture avec l'inégalité arithmético-géométrique :

et

etc ...

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