Inégalité

[Mhdi]

1)

C'est ça?

[Zweig]

Ouaip ! :++:

[ThSQ]

C'est une solution qui a le mérite de marcher.

( perso je trouve ça atrocement laid (comme beaucoup de pbs d'inégalités) mais c'est un avis tout à fait personnel, beaucoup adorent ce genre de pbs et c'est leur droit ! ).

A noter qu'il suffit de prendre k=3 car gauche-droite est une fonction croissante de k.

[Zweig]

Personellement, je ne vois pas ce qu'il y'a de laid :ptdr: Puisque la suite de la solution tient en une ligne (apparament tu l'as trouvée mais pour ceux qui ont déjà abandonné) :

(pq - r (p² + q)/(pq - r) + k/p >= (p² + q)/pq + k/p = p/q + (k + 1)/p >= 2V[(k + 1)/q] d'après l'inégalité arithmético-géométrique)

[Mhdi]

C'est tout de même une assez grande majoration (pq - r <= pq) !
Où est ce qu'on a utilisé le fait que k>=3?
Et je suis d'accord avec ThSQ que beaucoup d'inégalités (dont celle-ci) sont résolues de façon très moche et sans la moindre élégance à coup de Cauchy et autres inégalités destructrices - je me demande si ces inégalités ont été conçues pour n'admettre que ce genre de solutions-là ou s'il y en a d'autres...

Il se peut aussi que ce soit moi qui ne comprenne rien à tout ça (c'est fort probable)

Sinon, Zweig, j'ai remarqué que tu poses souvent ces p q r

[Zweig]

k >= 3 est utilisé lorsqu'on traite le cas d'égalité :

(a,b,c) = ((k - 1 - V[k^2 - 2k - 3])/2*a, a, 0)

ou

(a,b,c) = ((k - 1 + V[k^2 - 2k - 3])/2*a, a, 0)

[Zweig]

A mon sens, l'importance c'est d'avoir au moins une solution, dans une compétition ... Si après elle peut être élégante, pourquoi pas.

[Imod]

A mon sens, l'importance c'est d'avoir au moins une solution, dans une compétition ... Si après elle peut être élégante, pourquoi pas.

Dans le sport on dirait il n'y a que le résultat qui compte

Imod

[Imod]

perso je trouve ça atrocement laid (comme beaucoup de pbs d'inégalités) mais c'est un avis tout à fait personnel, beaucoup adorent ce genre de pbs et c'est leur droit !

Je suis 100% d'accord avec toi mais quand un jour on m'a demandé les raisons de mon aversion pour ce type d'exercice , j'y ai retrouvé tout ce qui faisait que j'aimais les maths . Comprend qui peut ???

Imod

[ThSQ]

Je voulais parler de ce problème-ci en disant que la solution de poser (les très classiques, Mhdi) p,q,r étaient très laide (encore une fois c'est un avis personnel, pas d'attaque contre quiconque, surtout pas contre Zweig qui a la gentillesse de nous alimenter en exos !).

Il y a des exos d'inégalités assez sympas (si si) et certains sont d'une habileté diabolique pour les résoudre (comme le légendaire Dospinescu).

[Zweig]

C'est vrai que certaines inégalités peuvent être résolues d'une manière très habile ... comme celle-ci :

Pour tous réels deux à deux différents, on a

[lapras]

Je l'ai résolue pour a, b , c positifs...
Ce qui est pas mal c'est le carrés, car (-x)² = x²
donc
a²/(a-b)² = (-a)²/(b-a)² = X²/(X+b)²
avec X = -a
de même
Y = -b
Z = -c
on obtient :
a²/(a-b)² + b²/(b-c)² + c²/(a-c)² >= X²/(X+b)² + Y²/(Y+c)² + Z²/(Z+a)²
par symétrie on peut considérer
a>=b>=c
ainsi
X<=Y<=Z
donc
X+b <= Z+a
supposons (X+b)²>=(Z+a)²
=> a² + b² - 2*a*b >= a² + c² - 2*a*c
=>
b² - c² >= 2a(b-c)
=>
b+c >= 2a impossible
donc
(X+b)² <= (Z+a)²
de même
(Y+c)² <= (Z+a)²
on obtient alors
X²/(X+b)² + Y²/(Y+c)² + Z²/(Z+a)² >= (X² + Y² + Z²)/(Z+a)² = (a²+b²+c²)/(a-c)²
supposons a²+b²+c² <= (a-c)²
=>
a²+b²+c² <= a² + c² - 2ac
=>
b²<=-2ac <0
impossible
donc on a bien
X²/(X+b)² + Y²/(Y+c)² + Z²/(Z+a)² >= 1
d'où l'inégalité

[raito123]

Intéressante solution Zweig mais (Cauchy) est peut-être plus direct.

Bonjour ,

Est-ce pour tout n dans IN !?

[Zweig]

Je l'ai résolue pour a, b , c positifs...
Ce qui est pas mal c'est le carrés, car (-x)² = x²
donc
a²/(a-b)² = (-a)²/(b-a)² = X²/(X+b)²
avec X = -a
de même
Y = -b
Z = -c
on obtient :
a²/(a-b)² + b²/(b-c)² + c²/(a-c)² >= X²/(X+b)² + Y²/(Y+c)² + Z²/(Z+a)²
par symétrie on peut considérer
a>=b>=c
ainsi
X=(Z+a)²
=> a² + b² - 2*a*b >= a² + c² - 2*a*c
=>
b² - c² >= 2a(b-c)
=>
b+c >= 2a impossible
donc
(X+b)² = (X² + Y² + Z²)/(Z+a)² = (a²+b²+c²)/(a-c)²
supposons a²+b²+c²
a²+b²+c²
b²= 1
d'où l'inégalité

Il te manque a,b,c négatifs ^^. Ou alors, on pouvait tout simplement remarquer que :



:marteau:

[lapras]

J'aime le "tout simplement remarquer" ^^
J'ai essayé de trouver une factorisations mais celle ci ne m'a pas sautée aux yeux !

[Zweig]

Comme ça les inégalités ont l'air "beaucoup plus faciles" :marteau: :mur: Mais bon, on ne peut pas toujours trouver des réécritures parachutées comme celle-ci ... Y'avait un exo d'OIM de je ne sais plus quelle année, avec des carrés et des a,b,c longueurs d'un triangle où on pouvait s'en sortir "comme ça" ...

[Redbul.]

Bonjour, je suis nouveau.

La factorisation est vraiment puissante (tu l'as trouvé sur le coup Zweig?), d'un autre côté ça me chagrine de ne pas pouvoir compléter le raisonnement de Lapras pour a, b et c négatifs...
Ca doit pouvoir se faire, j'essaye.

[lapras]

salut RedBul.
Pour mon raisonnement ca va être dur de l'étendre aux négatifs je pense... L'inégalité du réordonnement etc... sont apperement inéfficaces ici ! (contrairement a ce que je pensais en voyant l'inégalité !)
On peut toujours chercher ca doit se faire !

[Mhdi]

Juste une question : cette inégalité est-elle homogène? Je pense que oui...

[Zweig]

Oui, homogène de degré 0.