Soit
prouver que
Inégalité
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par Zweig » 08 Mai 2008, 14:53
Salut Mhdi,
La contrainte se réécrit encore
.
Le membre de gauche se réécrit quant à lui
. L'inégalité à démontrer se résume alors à 
.
On pose
, 
et 
. L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :
(a - c) + b^t(b - a)(b - c) + c^t(c - a)(c - b) \geq 0)
pour tout réel 
.
En particulier, nous avons :(a - c) + b^0(b - a)(b - c) + c^0(c - a)(c - b) \geq 0)
, qui se réécrit encore 
, ou encore 
. Or 
d'après la contrainte imposée par l'énoncé, d'où 
, comme désiré.
L'égalité est obtenue lorsque
.
La contrainte se réécrit encore
Le membre de gauche se réécrit quant à lui
On pose
En particulier, nous avons :
L'égalité est obtenue lorsque
par Mhdi » 08 Mai 2008, 16:21
Salut,
J'ai bien aimé l'inégalité parce que j'ai réussi à la résoudre en n'utilisant aucune autre inégalité sauf la fameuse
Ma solution:
démontrer que(y-1)(z-1)>=8)
revient à démontrer que (1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})>=8)
Et puisque
, il suffit de démontrer que (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})>=8)
On sait que :
et
et
En multipliant, on obtient :
(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})>=\frac{8}{xyz})
Ainsi,
On conclut donc que
@+
J'ai bien aimé l'inégalité parce que j'ai réussi à la résoudre en n'utilisant aucune autre inégalité sauf la fameuse
Ma solution:
démontrer que
Et puisque
On sait que :
et
et
En multipliant, on obtient :
Ainsi,
On conclut donc que
@+
par Mhdi » 08 Mai 2008, 16:35
Merci :happy2:
ThSQ>>Belle solution ;) ; l'efficacité de Cauchy-Schwarz :bad:
ThSQ>>Belle solution ;) ; l'efficacité de Cauchy-Schwarz :bad:
par Mhdi » 08 Mai 2008, 16:40
En voilà une plutôt difficile - je ne l'ai pas encore résolu !
sont des réels strictement positifs tels que 
Démontrer que(b+1)} + \frac{b}{(b+1)(c+1)} + \frac{c}{(c+1)(a+1)} >= \frac{3}{4})
Démontrer que
par Zweig » 08 Mai 2008, 17:08
En posant
Or,
L'égalité est obtenue lorsque
CQFD.
par ThSQ » 08 Mai 2008, 17:10
Mhdi a écrit:En voilà une plutôt difficile
Jolie mais bêtement torchable par l'astuce a=x/y,b=y/z,c=z/x qui transforme en
qui est l'inégalité entre moyennes.
par Zweig » 08 Mai 2008, 17:23
J'en ai une relativement difficile.
Soient a, b, c des réels positifs et k un réel donné
. Montrer l'inégalité suivante :
Soient a, b, c des réels positifs et k un réel donné
par lapras » 08 Mai 2008, 19:59
Bonsoir
j'arrive apres une bonne journée piscine, apres la bataille.
Je donne une solution que je viens de trouver
1/x + 1/y + 1/z = 1
<=>
xy + yz + zx = xyz
en développant (x-1)(y-1)(z-1) on obtient :
x+y+z >= 9
or
inégalité harmonique-arithmétique =>
(x+y+z)/9 >= 1/(1/x + 1/y + 1/z) = 1
=>
x+y+z >= 9
c'est donc fini
j'ai aussi trouvé une autre solution avec les moyennes arithmétiques et cauchy et réordonnement mais c'est beaucoup plus long.
j'arrive apres une bonne journée piscine, apres la bataille.
Je donne une solution que je viens de trouver
1/x + 1/y + 1/z = 1
<=>
xy + yz + zx = xyz
en développant (x-1)(y-1)(z-1) on obtient :
x+y+z >= 9
or
inégalité harmonique-arithmétique =>
(x+y+z)/9 >= 1/(1/x + 1/y + 1/z) = 1
=>
x+y+z >= 9
c'est donc fini
j'ai aussi trouvé une autre solution avec les moyennes arithmétiques et cauchy et réordonnement mais c'est beaucoup plus long.
par ThSQ » 08 Mai 2008, 20:08
Intéressant, à noter que l'égalité n'a pas lieu quand a=b=c ce qui veut dire que les bazookas habituels vont être sans effet ici ....
par Zweig » 08 Mai 2008, 20:23
"les bazookas habituels" = inégalités classiques ?
Pas si sûr ... :we:
Pas si sûr ... :we:
par ThSQ » 09 Mai 2008, 08:08
Zweig a écrit:"les bazookas habituels" = inégalités classiques ?
Non c'est clair qu'il faudra utiliser une pièce du couteau suisse des inegs tôt ou tard. Je pensai plutôt aux astuces trivialisantes style homogénéisation, .....
par Zweig » 09 Mai 2008, 12:37
Perso, je n'ai pas eu besoin de ça, mais y'a peut-être une autre solution possible.
par Zweig » 10 Mai 2008, 19:09
Zweig a écrit:Soient a, b, c des réels positifs et k un réel donné
Personne n'a trouvé une solution ?
par Zweig » 10 Mai 2008, 21:38
Bien sûr !
On pose p = a + b + c, q = ab + ac + bc, r = abc.
1) Trouvez une réécriture du membre de gauche en fonction de p, q et r (et k bien entendu).
2) La forme du membre de droite vous fait penser à quelle célèbre inégalité ? A partir de la réécriture du membre de gauche (et du membre de droite en fonction de k et q) et de la connaissance de la forme de cette célèbre inégalité , "bidouillez" pour démontrer l'inégalité en partant du membre de gauche.
"Tout" est dans le 1).
On pose p = a + b + c, q = ab + ac + bc, r = abc.
1) Trouvez une réécriture du membre de gauche en fonction de p, q et r (et k bien entendu).
2) La forme du membre de droite vous fait penser à quelle célèbre inégalité ? A partir de la réécriture du membre de gauche (et du membre de droite en fonction de k et q) et de la connaissance de la forme de cette célèbre inégalité , "bidouillez" pour démontrer l'inégalité en partant du membre de gauche.
"Tout" est dans le 1).
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