Séries numériques

[fpaco]

Bonsoir, petite question sur un exercice.
Soit une suite u définie par
U(n+1)=(-1)^n × cos(U(n-1))/n
Et Uo un réel
J'ai déjà montré que Un-->0 et que Un est équivalent à (-1)^n /n
Bien que la série de terme général (-1)^n /n converge on ne peut rien dire sur la série se terme générale Un car l'équivalent n'est pas une suite à Termes positifs.
Je n'arrive pas à montrer proprement la convergence de la série de terme général Un
Un peu d'aide serait la bienvenue

[mathelot]

Bonsoir,
on a quand n tend vers l'infini et
Faire un développement limité de à l'ordre 2

[tournesol]

U0 nous donne U2, mais que vaut U1?

[mathelot]

Bonjour,

en faisant un développement limité:


or:

et


La série de terme général u_n est donc la somme d'une série alternée, convergente mais non absolument convergente, et d'une série absolument convergente.

Pour les notations "o" et "O" de Landau , voir ci-dessous:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique