Series numériques: recherches methodes

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
juve1897
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par juve1897 » 23 Aoû 2007, 20:08

marie49 a écrit:attention, ce n'est une égalité mais une équivalence

ensuite je trouve que 2/n^3-3/n^2=(2n^2-3n^3)/n^5 qui est équivalent en +inf à -3/n^2 (et non pas à n^5)

tu n'oublies pas de préciser que ce terme est de signe constant (pour utiliser le thm convergence et équivalence)

et, effectivement par Riemann, tu trouves que la série converge


Merci Marie.

en fait qd il n'y a pas d'enjeu, je peux me permettre de faire des suppositions mais lorsque je suis en examen, je suis pas sur de moi alors je ne prefere pas repondre de peur que le prof se foute de moi .

En tous cas je te remercie d'etre resté à m'aider toute l'apres midi :lol4:



juve1897
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par juve1897 » 23 Aoû 2007, 20:10

kazeriahm a écrit:d'accord et donc pour l'exemple que je t'ai donné ca donne quoi ?

l'important c'est de manger des exos sur le thème puisque tu sembles connaitre ton cours mais tu n'es pas sur de toi :we:


Ben justement c'est le deuxieme exemple que tu m'as donné, sur lequel j'ai travaillé avec l'aide de Marie.

Mais pour le premier avec le cosinus hyperbolique je vois pas du tout comment commencer, ni meme par où le prendre.

De plus les cosinus hyperbolique ça remonte à mon année de Terminal S.

Si tu pouvais me donner qq piste ça serait hyper sympa ;)

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 23 Aoû 2007, 20:22

attention C'est (en valeur absolue) puissque la règle de D'Alembert s'applique pour les séries à termes positif/constants seulement.. !

marie49
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par marie49 » 23 Aoû 2007, 20:23

alors, pour commencer, je te rappelle la formule de ch(x):

ch(x)=

après, je te conseille de faire un DL de ch(1/n) quand n tend vers +inf

kazeriahm
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par kazeriahm » 23 Aoû 2007, 20:23

kazeriahm a écrit:bon donc la on a vu l'utilisation des développements limités, la règle de D'alembert tu connais ? elle s'utilise souvent quand il y a des produits et des puissances

par exemple si Un=(n!)^2/n^n


moi je te parlais de ca :ptdr:

sinon pour Un=ch(1/n)-1, cherche encore dans les DLs (1/n tend vers 0 quand ntend vers l'infini)

Joker62
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par Joker62 » 24 Aoû 2007, 16:28

ça serait bien de lui trouver un annexe avec les équivalents les plus utilisés.
Moi je connais pas trop, j'ai jamais vu sur le net.

juve1897
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par juve1897 » 24 Aoû 2007, 17:05

Joker62 a écrit:ça serait bien de lui trouver un annexe avec les équivalents les plus utilisés.
Moi je connais pas trop, j'ai jamais vu sur le net.


Bonjour,

en faite je suis entrain de faire maes annales et j'ai besoin de correction.

Etudier la convergence de la serie de terme general

un= n^n / (2.4...(2n))

Alors la suite un est a terme positif.

J'utilise le theoreme D'alembert,

((n+1)^n+1 . 2.4...(2n)) / ( 2.4...2(n+1) . n^n) = (n+1)^n / (2. n^n)

ensuite j'utilise les comparaisons
(n+1)^n / (2. n^n) < (n+1)^n / n^n = (1+ 1/n)^n

et la je suis bloquée...

peux tu m'aider???

fahr451
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par fahr451 » 24 Aoû 2007, 18:21

bonjour

(1+1/n)^n tend vers e ce qui te permet de conclure (sans majoration)

juve1897
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par juve1897 » 24 Aoû 2007, 20:48

fahr451 a écrit:bonjour

(1+1/n)^n tend vers e ce qui te permet de conclure (sans majoration)



Merci

donc on peut dire que la serie est convergente (vers e) ???

Edrukel
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par Edrukel » 24 Aoû 2007, 23:08

ici si on a bien u(n)=(n^n)/(2*4*6*..*(2n))

u(n+1)/u(n)=(1/2)((1+1/n)^n) qui tend ver e/2=1,35914.... >1

donc d'après la règle d'Alembert ,la série est divergente

kazeriahm
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par kazeriahm » 24 Aoû 2007, 23:10

juve1897 a écrit:

((n+1)^n+1 . 2.4...(2n)) / ( 2.4...2(n+1) . n^n) = (n+1)^n / (2. n^n)



salut

la tu as donc u_n+1/u_n=[((n+1)/n)^n]/2

peux tu trouver la limite de u_n+1/u_n avec ce que t'as dit fahr et conclure quand à ton énoncé ?

juve1897
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par juve1897 » 25 Aoû 2007, 01:16

kazeriahm a écrit:salut

la tu as donc u_n+1/u_n=[((n+1)/n)^n]/2

peux tu trouver la limite de u_n+1/u_n avec ce que t'as dit fahr et conclure quand à ton énoncé ?



ben la serie est divergente.

je suis entrain de plancher sur un exercice et je bloque à certaines questions.

.... Exercice ....

On pose
un= (-1)^n/ (n!)^1/n
vn = 1 / (n!)^1/n
xn= ln(n!) * 1/n

1) Montrer que pour tout n>= 1 on a ln(n!)* 1/n =1 , on a x(n+1 ) - x(n) >=0
4) Montrer que la suite vn est de croissante
5) Montrer que x(n) -> + oo quand n -> +oo
6) Deduire de ce qui precede que la serie Sum un converge
7) La serie Sum un est absolument convergente ? Semi convergente?

....


1) je vois pas comment faire, j'ai pensé à la récurrence mais j'ai l'impression que c'est une mauvaise piste

2) vn = 1/ (n!)^1/n

la suite est à termes positifs, donc on peut utiliser le theoreme de comparaison et celui de Riemann

vn = 0

Or tout ces termes sont positifs
donc on a bien x(n+1) - x(n) >=0

4) vn= 1/ (n!)^1/n

Pour montrer que la suite est decroissante je calcule
V(n+1) / v(n) = n!^n / (n+1)!^(n+1)
= n!^n / ((n+1)!^n * 1/(n+1)!)
= 1/ (n+1)^n * 1/(n+1)! + oo ????

6) LA serie vn etait de la forme de Serie de Riemann et divergente de plus elle etait decroissante.
Or un etant une serie alternée donc le Critere de Riemann permet de conclure en disant que la serie est convergente (car 1/n > 0)

7) La serie est semi convergente car vn etait divergente.

***********************

Merci à ceux qui auront la gentillesse de me corriger et de me guider pour les questions auxquelles je n'ai pu trouver de reponses. :++:

fahr451
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par fahr451 » 25 Aoû 2007, 01:49

1)

ln(n!) /n =< ln ( n ) <=> ln (n!) =< nln(n)<=> n! =< n^n
la dernière inégalité étant raisonnablement vraie

Edrukel
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par Edrukel » 25 Aoû 2007, 01:50

pour le 1)

une méthode trouvée à cette heure-ci :-)

ln(k-1)<=ln(k)

(k-1)ln(k-1)<=(k-1)ln(k)

(k-1)ln(k-1)<=kln(k)-ln(k)

ln(k)<=kln(k)-(k-1)ln(k-1)

en sommant de k=2 jusqu'à k=n

on obtient :: ln(n!)<=nln(n)

d'où la réponse
,la méthode de fahr451 est rapide

Joker62
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par Joker62 » 25 Aoû 2007, 01:51

1) On étudie :

Image
Donc le signe de ça, ça dépend de ce qu'il y a à l'intérieur du ln
On doit donc montrer que n^n/n! est supérieur ou égal à 1 pour prouver l'inégalité.
Et donc là, une ptite récurrence règle vite le problème.

Edit : Chacun sa méthode on va dire :D

fahr451
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par fahr451 » 25 Aoû 2007, 01:53

une récurrence ...?

n! = 1.2.3....n

n^n = n.n.n...n

juve1897
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par juve1897 » 25 Aoû 2007, 01:55

fahr451 a écrit:1)

ln(n!) /n = ln (n!) = n! =< n^n
la dernière inégalité étant raisonnablement vraie



oui merci Fahr c'est une super bonne demonstration, j'y avais mm pas penser de faire un raisonnement à l'envers.

Moi j'essayais de partir de rien pour aboutir à ln(n!) /n =< ln ( n )

Bien pensé.

Sans vouloir etre lourde, est ce que le reste de mes reponses est juste ou pas .

Merci d'avance ;)

Joker62
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par Joker62 » 25 Aoû 2007, 01:56

Image

ça utilise la récurrence na ? :o



Ahhhhhhhhhh
J'ai compris ce que tu as voulu dire lol :D
Oui c'est la bombe A pour tuer la mouche.

juve1897
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par juve1897 » 25 Aoû 2007, 01:57

JE vous remercie tous de m'avoir apporté vos reponses par une heure si tardive.

JE vais revoir chacune d'entre elles, elles me serviront sans doute pour un autre exo ;)

Merci encore.

fahr451
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par fahr451 » 25 Aoû 2007, 01:58

2)

ce que tu dis n'est pas correct

les séries de riemann sont 1/n^a avec a constant !

ici le a serait 1/n non constant

utilise la question 1 et compare vn avec la série harmonique

 

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