Le cahier des series numériques

[vejitoblue]

n(sin(1/n))=n(1/n-1/6n^3+o(1/n^3)

du coup ln(1-1/6n²+o(1/n²))= -1/6n²+o(1/n²)

on y va n^a/-6n²=-1/6n^(2-a) et on a qu'à distinguer les valeurs de a par rapport à 2
si a =2 un tend vers e^(-1/6)!=0
a<2 un tend vers e^0=1
la série diverge dans ces 2 cas
et si a>2 faut réfléchir un peu

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c'est bon ou pas

[Pseuda]

Bonjour vejitoblue,

Je suis d'accord pour a<=2, la série diverge grossièrement (Un -> 0 ssi a>2).

Pour , je dirais : , avec o(1)->0.
Pour n assez grand, -1/6+o(1) reste négatif, par exemple -1/6 + 1/12 = -1/12.
Donc , donc la série converge.

[vejitoblue]

cimer pseuda
ouais quand ya du exp on compare à riemann en gros =)

j'ai celle-ci qui est intéressante:
avec p qui parcourt l'ensemble des nombres premiers.

à mon avis ça diverge vu que c'est de la série harmonique et Euclide (si c'est lui) avait prouvé qu'il y a une infinité de nombre premiers. mais prouver que ça diverge (si ça diverge) c'est autre chose

[vejitoblue]

mais bon mon intuition est pas forcément bonne
la série des 1/n² converge même si 1/n² est une sous suite de la suite 1/n
Enfin les premiers sont pas des carrés donc c'est pas comparable

ps: disez pas la solution si vous savez, juste un indice

[Pseuda]

Intéressant. Les nombres premiers sont bcp plus espacés que les nombres entiers et bcp moins que les carrés.

Mais a priori je dirais que ça converge, car ils sont plus espacés que les p^a, avec a>1. Toutefois il faudrait comparer avec les p*ln p dont les inverses divergent aussi.

Il y a une formule je crois d'équivalence des nombres premiers avec du ln.

[Ben314]

j'ai celle-ci qui est intéressante:
avec p qui parcourt l'ensemble des nombres premiers.

Effectivement, ça diverge (mais très très lentement) vers +oo et la preuve n'est pas très compliqué (*) au niveau des outils nécessaires, mais un peu astucieuse....
L'idée est (évidement) d'utiliser la décomposition en facteur premiers :
Si tu t'autorise à écrire le produit (infini constitué de sommes infinies...)

Et qu'en plus tu t'autorise à le développer en faisant tout les produit imaginables en prenant un terme par facteur, alors tu tombe sur qui est divergente.
Or et en fait est de même nature que ...

Je te laisse boucher les trous : le mieux, c'est de commencer par comprendre comment ça marche sans trop se soucier de la convergence des trucs qu'on manipule (par exemple, ici, c'est ...) pour ensuite essayer d'écrire proprement le bidule...

(*) En particulier, on peut le démontrer sans utiliser le fait que qui est un résultat bien connu et archi classique mais... très difficile à démontrer...

[vejitoblue]

ah ouais ça tue!!
psi vaut la série harmonique par ce qu'elle représente la somme de toutes les décompositions possibles en facteurs premiers donc tout les entiers naturels (ou leurs inverses)

c'est hallucinant en tout cas faut le voir

Ah oui la serié 1/p^k est géométrique de raison <1 donc converge vers p/(p-1)
mais ln(psi) c'est la somme des ln(1+1/(p-1)) elle est équivalente à .... 1/p-1

deit: j'ai l'impression qu'un truc cloche,je vais essayer de conclure comme un grand

je tente:
donc ln(p/(p-1))= -ln(1-1/p) = -1/p
ça va mieux on retombe sur nos pattes, donc la série 1/p est équivalente à ln(psy) en l'infini ie elle est divergente

[Pseuda]

On a donc (comme la somme des inverses), d'où .

Or , et .

Le seul souci, c'est de pouvoir en conclure que : , car le domaine est ici restreint : P (ensemble des nombres premiers), pas N.

Oups ça marche, en posant et .

[vejitoblue]

c'est bon merci j'ai réussi je viens juste d'éditer

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