Le cahier des series numériques

[vejitoblue]

salut

on cherche la nature de la série de termes x_n=.

la suite a des termes >0 donc on peut utiliser d'alembert (en plus quand il y a des factoriels c'est bien d'alembert), si xn+1/xn converge vers l<1 on est bien notre série converge. bon comme j'étais coincé j'ai regardé la correction comme un lâche et on me dit ça:

= = 1/4

Mais j'ai du mal pour passé du centre à droite (sachant que je suis de gauche ), ça à l'air d'être un travail de polynome ou je sais pas quoi, j'ai essayé de diviser (n+1)² par 2n+1 et 2n+2 je trouve pas. c'est quoi ce plan!

Si quelqu'un peu m'expliquer, après ce sera simple de conclure

[Lostounet]

Bonjour..
Tu n'as pas défini c... c'est quoi?

[vejitoblue]

bonjour.

c est un réel positif (strictement), c'est selon ce paramètre que la série va converger ou non.

[Lostounet]

J'ai un peu la flemme de regarder ce qu'ils ont fait en détail car ça a l'air chiant / bizarre mais dans tous les cas si tu fais un équivalent de (n+1)^c/(2n+1)(2n+2) ~ n^c/4n^2
~ n^(c-2)/4

Qui montre que la série converge pour c<=2

[vejitoblue]

ouais c'est plus simple comme ça
c'est juste que j'essaie d'éviter les raccourcis avec les équivalents , des fois y a des trucs qui passent pas:

exemple: un=

on a qui converge quand 1/2<a<=1, ça m'a l'air surprenant car cosinus est bornée et un n'est pas , à priori,équivalent à en l'infini. Ou alors un n'est pas toujours positif et on peut pas appliquer les résultats du cours sur les séries à termes +. Mais même si on voit la convergence absolu c'est simple pour a>1, mais aussitot que a est dans ]1/2 , 1], je ne trouve pas de majorant à |un|. J'ai pas encore chercher à majorer par une intégrale encore, c'est peut être de ce côté là.

merci en tout cas lostounet

[Ben314]

Salut,
Concernant l'étude d'une série de terme général ,

1) C'est pas trop difficile de montrer que tu n'a convergence absolue que pour a>1 donc pour a<=1, faut forcément être plus malin.
Et par exemple de comparer avec une intégrale, ça servira à rien du tout vu que c'est utile que pour des fonction plus ou moins monotones où on peut facilement comparer f(n) avec l'intégrale de n à n+1 de f(t) dt et là, c'est clairement pas du tout le cas.

2) Ton truc, c'est "presque" un truc où s'applique le critère d'Abel, sauf que n'est pas décroissante donc ça s'applique pas directement, mais par contre ça s'appliquerait parfaitement pour montrer la convergence de la série de terme général pour tout a>0.

3) Arrivé à ce point, LA idée qu'il faut avoir, elle est assez naturelle, c'est d'étudier la série de terme général vu que, pour a>0, 'elle est de même nature que la série de terme général .

[vejitoblue]

ouais abel (meme dirichlet), j'y ai pensé tout de suite mais pas trouvé de choses conséquentes.

on nous dit que si (a_n) est une suite positive décroissante et (b_n) telle que converge alors converge. mais même avec ce que tu dis ben314 je pige pas, la série des cos n (= la suite b_n du dessus) diverge grossièrement.

[Ben314]

Ben forcément, si tu applique le truc de travers, ça va pas marcher...
Dans le théorème en question (ou tout du moins la version dont tu semble disposer), la condition sur la suite , c'est pas que la série soit convergente, c'est que la suite de terme général soit bornée.
Et c'est bien le cas pour lorsque : il suffit de voir que c'est la partie réelle de pour calculer et vérifier que reste bornée.

[Pseuda]

Bonsoir,

Ou on peut faire un DL à l'ordre 2 du terme de la série (pour a>0) = (cos n)/(n^a)-((cos n)^2/(n^(2a))+ o(1/(n^2a)).

Puis on utilise la transformation d'Abel (=> la série de terme (cos n)/(n^a) est convergente pour a>0), et la série de terme ((cos n)^2)/(n^(2a)) est convergente pour a>1/2 (=O(1/n^(2a)) qui est convergente), et divergente pour a<=1/2 (en transformant le cos^2).

Au final, on a :
si a<=0, la série diverge grossièrement,
si 0<a<=1/2, la série diverge,
si 1/2<a<=1, la série converge,
si a>1, la série est absolument convergente.

[Pseuda]

3) Arrivé à ce point, LA idée qu'il faut avoir, elle est assez naturelle, c'est d'étudier la série de terme général vu que, pour a>0, 'elle est de même nature que la série de terme général .

Etudier la série de terme un-vn revient quelque part à faire un DL à l'ordre 2, non ?

[Ben314]

Etudier la série de terme un-vn revient quelque part à faire un DL à l'ordre 2, non ?

Oui, tout à fait :
Trouver un équivalent de Un-Vn où chercher le D.L. avec 2 termes de Un (dont le premier terme sera évidement Vn) ça revient au même.

[vejitoblue]

donc on fait un truc style:

B_n=



ça ressemble à un dl de 1/1+x quand on met cos en facteur ca donne mais en fait nan on est pas au voisinage de 0

juste un petit calcul et c'est ok
on fait un developpement à 2 termes, une qui converge par Abel, une qui converge par Riemann (ça se dit pas comme ça mais les idées c'est le plus important)

cimer les gens ++

[vejitoblue]

ben134 j'ai du traffiqué mon cours en l'écrivant, j'ai du pensé convergente au lieu de majoré (croissante +majoré= convergente sauf qu'on est pas forcément à termes positifs ici)

[vejitoblue]

bonjour.
quelques unes pour la route.

u_n= (1/2+1/2n)^n on me dit comparer avec une série géométrique.
A première vu le critère de la racine semble marcher (si |un|^1/n)<r avec 0 r <1 alors la série converge absolument), pour n 2, |un| 3/4 <1 ok. en fait ça "revient au même" de dire que q^n <= (3/4)^n puis comme 3/4 <1 est majorée par une série géometrique convergente .

le genre de série où je galère (toujours comparer à une série géometrique):


en fait je me souviens d'un petit exo que j'ai pas réussi à résoudre ie chercher à majorer a^x/x^n (ou son inverse je sais plus) et je me dis que c'est potentiellement une lacune qui m'empêche de proner que la série des u_n converge.

une dernière: un= 1 - cos(1/n), on fait un dl de cos en 0 à mon avis, on a cos(1/n)= 1-(1/n)²/2+ (1/n)^4)/4! +o(truc)= 1 - 1/2n²+ 1/(n^4*4!)+o(truc) donc que un= 1/2n²-1/n^4*4! +o(truc)
est donc somme de 2 séries de riemann convergentes cqfd! on pourrait même faire un dl à un seul terme non

le tex c'est horrible au fait, plus lisible pour les autres mais très chiant

[Pseuda]

Bonsoir,

bonjour.
quelques unes pour la route.

u_n= (1/2+1/2n)^n on me dit comparer avec une série géométrique.

Si je lis bien, celle-là est grossièrement divergente (u_n -> + infini)

le genre de série où je galère (toujours comparer à une série géometrique):






une dernière: un= 1 - cos(1/n), on fait un dl de cos en 0 à mon avis, on a cos(1/n)= 1-(1/n)²/2+ (1/n)^4)/4! +o(truc)

Oui un dl à un terme est suffisant (la série est à termes positifs, cela donne l'équivalence avec la série de terme 1/(2n^2)).

le tex c'est horrible au fait

Entièrement d'accord, surtout sur téléphone

[Pseuda]

Ah je viens de comprendre pour celle-là : c'est u_n= (1/2+1/(2n))^n. A partir du rang 2, u_n<=(3/4)^n, dont la série converge. Comme les 2 séries sont à termes positifs, la série u_n converge.

[vejitoblue]

comment tu trouves cet équivalent, je suppose que tu mets 3^n/5^n en facteur et que quand n tends vers infini
converge vers zéro, idem pour

[vejitoblue]

aujourd'hui on fait quelques trandber

donc une série de bertrand à pour terme général et converge si (a>1) ou (a=1 et b>1)


alors je sais pas si c'est "légal" de faire un dl de e^x en 0 et de trouver:
la série des u_n de bertrand est convergente donc

une autre:


du coup
donc la série u_n majore une série divergente (bertrand pour a=1 b=1)

il m'en reste une à faire pour l'instant j'y ai pas trop réfléchi (il faut toujours faire une comparaison avec le monsieur bertrand) :
, a>0
A mon avis, y a un dl a faire ou un truc du genre pour dégager le 1 et transformer ça, mais c'est toujours perturbant pour moi les puissances de puissances de puissance.

[Pseuda]

comment tu trouves cet équivalent, je suppose que tu mets 3^n/5^n en facteur et que quand n tends vers infini
converge vers zéro, idem pour

Bonjour vejitoblue,

Pour celle-là, c'est bcp plus simple que ça :

donc
donc

d'où le résultat.

Je vais regarder les autres si j'ai le temps.

[Pseuda]

Pour les 3 autres, ok pour la 1 et la 2, à part une petite erreur dans le dl de la 1).

Pour la 3), on peut prendre l'exp, cela fait : exp (ln n / n^a) - 1, qui est équivalent (car a>0) à ln n / n^a (e^t-1 equiv t en 0, par la limite, le DL à l'ordre 1, ou le TAF).