Le cahier des series numériques

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

1) Alors pour toi, la série (-1)^n/n ne devrait pas exister ? Comme la série (cos n) / n ? Je ne connais pas la mesure de Lebesgue, et on peut appeler ces séries comme on veut (semi-convergentes), mais pour moi, elles font partie du paysage.

2) Par définition, l'intuition est très subjective. Par exemple, on n'a aucun mal à prouver que la série de terme (-1)^n / (n + cos n) est convergente (avec les termes de son DL d'ordre 1 qui sont tous convergents). L'intuition me dicte que cette série (de terme en valeur absolue non décroissant non plus) est convergente (le cos compris entre 1 et -1 ne pèse pas lourd face au n), donc avec ln n à la place de n (qui finit par atteindre des valeurs aussi grandes que l'on veut), je ne vois vraiment pas pourquoi les choses seraient différentes.

3) Par contre effectivement pour la série de terme (cos n) / (ln n + cos n), je serais plus prudente, les 2 (cos n) agissant de concert, tandis que pour l'autre (la série magique), le (-1)^n en haut est implacable face au (cos n) en bas qui vit sa vie erratique entre -1 et 1. D'ailleurs cela fait toute la différence dans le DL des 2 séries.

[Ben314]

2) Par définition, l'intuition est très subjective. Par exemple, on n'a aucun mal à prouver que la série de terme (-1)^n / (n + cos n) est convergente (avec les termes de son DL d'ordre 1 qui sont tous convergents). L'intuition me dicte que cette série (de terme en valeur absolue non décroissant non plus) est convergente (le cos compris entre 1 et -1 ne pèse pas lourd face au n), donc avec ln n à la place de n (qui finit par atteindre des valeurs aussi grandes que l'on veut), je ne vois vraiment pas pourquoi les choses seraient différentes.

3) Par contre effectivement pour la série de terme (cos n) / (ln n + cos n), je serais plus prudente, les 2 (cos n) agissant de concert, tandis que pour l'autre (la série magique), le (-1)^n en haut est implacable face au (cos n) en bas qui vit sa vie erratique entre -1 et 1. D'ailleurs cela fait toute la différence dans le DL des 2 séries.

Ben justement, ce que j'ai mis en bleu, pour moi, c'est la preuve que ce qu'il y a écrit en rouge déconne, c'est à dire que ce que "te dicte ton intuition", à savoir que ça converge "car le cos ne pèse pas lourd" ben c'est faux : le problème n'est pas de savoir "s'il pèse lourd ou pas", mais de savoir si les alternances qu'il produit (et qui rendent le truc non décroissant) vont être en phase ou pas avec les alternances produites par le numérateur.

Et je ne comprend (même au niveau intuitif) ni ce que peut vouloir dire le "implacable face au cos(n)" ni le "qui vie sa vie erratique" : dans ce type de contexte, cos(n) ou (-1)^n, c'est exactement la même chose : dans les deux cas, c'est du cos(theta.n) [theta=pi dans le premier cas et theta=1 dans le second] et dans les séries, tout les trucs de la forme cos(theta.n) jouent le même rôle sauf si theta=2k.pi (ce qui n'est le cas ni pour l'un, ni pour l'autre).
Bref, cos(n), il est pas plus "erratique" que (-1)^n dans ce contexte où la seule chose qui a de l'importance, c'est de savoir si les sommes partielles sont bornées ou pas.

Et pour répondre à la fois à tes 3 points, je pourrait résumer le truc en disant que quelqu'un qui me dit qu'il arrive à raisonner "intuitivement" face à une somme infinie de réels dont la somme dépend de l'ordre dans laquelle on ajoute les termes (c'est une caractéristique des séries semi-convergentes), j'ai un peu du mal à croire que son "intuition" va lui être d'un grand secours dans un cas pareil.

[Lostounet]

j'étais justement en train de chercher un contr exemple pour la 2)

si a_n = (-1)^n/n, la série a_n converge par abel (alternée +|an|->0), a_n est pas décroissante mais le hic c'est que a_n est pas toujours poistive comme dans l'hypothèse même si on ajoute un au numérateur ça marche pas la série ((-1)^n+1)/n diverge, faut trouver autre chose, une suite (an) non décroissante qui converge vers 0 et dont la série converge et dont nan converge vers autre chose que zero.

la belle serie 1/ln+cos répond à ce critère non, mais on a pas encore prouvé que sa convergence, il doit y avoir plus simple

Pauvre Vejito

Ils t'ont oublié à cause de la belle série :p
Pardon.. c'est de ma faute

[vejitoblue]

donc en gros ln n croit pas assez vite pour que cos n n'ai aucune incidence

ln(n+1)=lnn + ln(1+1/n) du coup ln (n+1) sera pas si énorme comparé à ln(n) pourvu qu'on prenne un n suffisamment grand. et c'est là que le cos joue son rôle

++

[vejitoblue]

j'étais justement en train de chercher un contr exemple pour la 2)

si a_n = (-1)^n/n, la série a_n converge par abel (alternée +|an|->0), a_n est pas décroissante mais le hic c'est que a_n est pas toujours poistive comme dans l'hypothèse même si on ajoute un au numérateur ça marche pas la série ((-1)^n+1)/n diverge, faut trouver autre chose, une suite (an) non décroissante qui converge vers 0 et dont la série converge et dont nan converge vers autre chose que zero.

la belle serie 1/ln+cos répond à ce critère non, mais on a pas encore prouvé que sa convergence, il doit y avoir plus simple

Pauvre Vejito

Ils t'ont oublié à cause de la belle série :p
Pardon.. c'est de ma faute

lol ouais ils sont obnubilés par la "magie", enfin je comprend quelques trucs grace à leurs débats tout en continuant mon bonnhomme de chemin

[Pseuda]

Désolée Ben314, mais mon intuition est la bonne et se trouve confirmée par le résultat d'un calcul. D'ailleurs pourquoi tout le monde veut prouver que cette série est convergente si ce n'est guidé par son intuition ?

Dans ce type de contexte, cos(n) ou (-1)^n, c'est exactement la même chose...

Pas d'accord, le cos(n) fait que la série (cos n)/(ln n + cos n) diverge et le (-1)^n fait que la série (-1)^n /(ln n +cos n) converge.

quelqu'un qui me dit qu'il arrive à raisonner "intuitivement" face à une somme infinie de réels dont la somme dépend de l'ordre dans laquelle on ajoute les termes (c'est une caractéristique des séries semi-convergentes), j'ai un peu du mal à croire que son "intuition" va lui être d'un grand secours dans un cas pareil.

Qui parle de les sommer dans un ordre différent de l'ordre naturel de N ? Pas moi en tout cas. On est en train de comparer 2 ou plusieurs séries sommées dans le même ordre.

J'en resterai là. Dommage en effet, ce cas qui avait été posté en "Enigmes" dans ce forum est venu éclipser d'autres questions tout aussi intéressantes.

[Ben314]

Dans ce type de contexte, cos(n) ou (-1)^n, c'est exactement la même chose...

Pas d'accord, le cos(n) fait que la série (cos n)/(ln n + cos n) diverge et le (-1)^n fait que la série (-1)^n /(ln n +cos n) converge.

La où c'est très clairement de la mauvaise foi, c'est que, comme par hasard, tu as "oublié" de mentionner le troisième cas, à savoir celui de la série (-1)^n /(ln n + (-1)^n) qui est divergente ce qui justement montre parfaitement bien que le (-1)^n et le cos(n) joue exactement le même rôle : que ce soit l'un ou l'autre, si on les met à la fois au numérateur et au dénominateur, ben ça diverge.

Et concernant le fait que "ton intuition est bonne" parce qu'elle dit que ça converge et qu'effectivement ça converge, je te laisse chercher toi même le nombre de fois où, dans l'histoire des science, ce type de raisonnement à conduit à la catastrophe.

Enfin, concernant le fait que la série (-1)^n/(ln(n)+cos(n)) est "intuitivement convergente", perso., j'aurais pas parié un Copec dessus et pour ne rien te cacher, je suis toujours pas super convaincu vu que la "pierre angulaire" de la démonstration, ça repose sur le Théorème de Liouville-Roth que je ne connaissait pas et qui, sauf erreur, marche dans ce cas là du fait que le rapport Pi/1 est trancendant (et ça fait que cos(n)=cos(1.n) et (-1)^n=cos(Pi.n), se "mélangent très bien") donc par exemple, si le cos(n) du dénominateur, on le remplaçait par du cos(racine(2).Pi.n), ça marcherais plus vu que pi/(racine(2).Pi), c'est plus transcendant. (et j'en profite pour te demander ce que te dicte ton "intuition" concernant la série de terme général (-1)^n/(ln(n)+cos(lambda.n)) qui s'avère C.V. pour lambda=1 et divergente pour lambda=Pi. Pour lambda=racine(2), ça converge ou pas ?)

[vejitoblue]

salut, j'ai quelques nature de séries à étudier mais pas de corrigés. je vous met celle que j'ai normalement résolu si j'ai pas fait le con:

un=n+1/(3n^3+2n+15), je vais prendre un raccourci en mettant n^3 en facteur au dénominateur et dire que un est un équivalent de 1/n^2 donc la série un a la même nature qu'une série de riemann convergente. je pense que ça marche pour n'importe quelle fraction rationnelle (j'apprend les DES mais c'est encore pas une tasse de thé)

vn=(1+1/n)^n-1, celle là j'ai trouvé qu'elle divergeait grossièrement en trouvant une limite a la suite vn= e-1

, par la méthode précedente j'ai trouvé que wn tend vers 1/e² mais ça semble trop simple

r ]0,e[ avec un d'alembert je trouve zn+1/zn = r(1-1/(n+1))^n qui converge vers r/e, et donc la série zn converge sur l'intevalle définit de r (vu que r/e<1 si r<e)

après j'ai celle là j'essaie de prouver que c'est une série téléscopique et en déduire une convergence:

[Ben314]

U_n et V_n -> O.K.
W_n -> non, W_n tend vers 0 et pas vers 1/e^2.
Donc il faut estimer à quelle vitesse ça tend vers 0 (vu que c'est une série à termes positifs).
Z_n -> O.K.

[Pseuda]

La où c'est très clairement de la mauvaise foi, c'est que, comme par hasard, tu as "oublié" de mentionner le troisième cas, à savoir celui de la série (-1)^n /(ln n + (-1)^n) qui est divergente.

Bonsoir Ben314,

Je ne te permets pas tes suppositions gratuites. Il n'y a pas de mauvaise foi et je n'ai rien oublié du tout, étant donné que c'est la 1ère fois qu'on parle de cette série dans ce fil.

Tiens cette série (-1)^n /(ln n + (-1)^n) est divergente ? Et bien tu vois, et cela va te prouver ma bonne foi, je l'aurais crue de prime abord, convergente.

Mais c'est vrai qu'à y regarder de plus près, le (-1)^n en bas fait que la série est la somme des 1/ln (n*e) (pour les n pairs) et des -1/ln(n/e) (pour les n impairs). Les termes négatifs sont systématiquement plus grands en valeur absolue que les positifs, ce qui fait qu'elle doit diverger vers -l'infini. Il y a donc bien aussi une question de corrélation ou non entre le terme erratique d'en haut et celui du bas.

Ce qui corrobore mon intuition pour l'autre série (le hasard complet des + et des - en bas, en face du systématique + et - en haut, autrement dit pas de déterminisme, qui fait qu'elle va se comporter comme la série (-1)^n/ln n qui converge).

Et concernant l'intuition, heureusement qu'on en a une (comment ferions-nous sans ? elle aide parfois), même si parfois elle nous trompe.

[Ben314]

Les termes négatifs sont systématiquement plus grands en valeur absolue que les positifs, ce qui fait qu'elle doit diverger vers -l'infini.

Donc en résumé, ce que te dicte ton intuition, c'est qu'une suite décroissante, ça "doit diverger vers -l'infini" (Le fait que les négatif sont plus grand en valeur absolu que les positifs, très clairement, tout ce que ça te dit, c'est que les sommes partielles qui se terminent par un négatif, ça forme une suite décroissante et comme c'est une équivalence, ça te dit absolument rien de plus).

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

Tu essaies de me faire dire ce que je n'ai pas dit. Non, si on les additionne 2 par 2 (n pair + n impair), toujours dans l'ordre naturel de N, on obtient une somme de termes strictement négatifs de l'ordre de -1\(ln n)^2 (mais cela tient plus du calcul rapide, car tout le monde sait que 1/n-1/(n+1)=1/(n(n+1)), que de l'intuition), donc qui tend vers - l'infini aussi.

Je comprends maintenant que le comportement de cette série bizarre cos (n theta)/(ln n + cos (n alpha)), est lié à la corrélation entre theta et alpha. S'il n'y a pas de corrélation, les + et les - s'équilibrent en bas par rapport aux + et aux - en haut, donc la série se comporte comme cos (n theta) / ln n, donc converge (pour theta <>2kpi). S'il y en a une, cela crée un déséquilibre, et les + (ou les - ) font pencher la balance d'un côté ou de l'autre, et le ln n en bas n'est pas assez puissant (par rapport au n en bas) pour outrepasser ce déséquilibre. Bref, tout cela n'a aucun fondement, c'est juste un essai d'explication du résultat.

[vejitoblue]

Salut les bêtes. je tente un exo un peu différent (et plus dur psychologiquement)

alors on a cette suite:



on veut montrer que sa série converge, et en plus la calculer

je réfléchis mais chaud j'ai fait des majoration (très) grossière de un, j'ai regardé la téléscopicité, à mon avis y a des termes qui se répètent et faut regarder la différence des sommes partielles ou un truc du genre

[aviateur]

Bonjour
C'est une suite ou une série?

[vejitoblue]

bah u_n c'est le terme général de la série

donc si j'ai bien compris on a une somme partielle et quid quand n tend vers l'infini

[Ben314]

donc si j'ai bien compris on a une somme partielle et quid quand n tend vers l'infini

Si c'est bien ça l'énoncé (vu la formulation originale de ton précédent post., je suis pas certain que ce soit bien ça la question), alors c'est assez élémentaire : si tu regroupe ensemble les termes qui ont la même factorielle au dénominateur, tu va avoir à sommer parallèlement un certain nombre de termes de la suite géométrique ce qui est trivial.

[Pseuda]

Bonjour,

Pour faire les choses formellement, j'ai posé k-i=j, mais il y a peut-être plus simple.

Ceci permet d'intervertir les 2 sommes finies : k allant de 0 à n et j allant de 0 à k, devient j allant de 0 à n et k allant de j à n. Et on met 1/j! en facteur.

[vejitoblue]

salut =)

donc j'ai trouvé cet exercice (Cauchy-Schwarz)

soient (un) et (vn) des suites réelles telles que et convergent

1) mq converge

2)mq

pour la 1) j'ai pas trouvé tout de suite avec abel (je sais pas s'il y a une des suites qui décroit) donc je tente une majoration par une autre série
en posant y_n= max(|un|, |vn|) pour tout n
je sais pas si c'est un bon argument et si on peut conclure avec ça, je teste

la 2) ça ressemble à l'inégalité trinagulaire d'une norme

++

[Ben314]

Pour le 1), ça découle quasi immédiatement de l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans le cas fini qui dit que :
Si et sont deux vecteurs de l'espace Euclidien alors c'est à dire .
(et il y a de multiples façon de démonter cette inégalité dans le cas fini)

[vejitoblue]

coucou

j'ai un exo à priori trouvé et un exo dans lequel je galère.
on cherche la convergence de la série de termes:
1) , a b réels
j'ai fait un dl de exp en 0:
x=1/n
e^x=1+1/n+1/n²+o(1/n²)
un=1-a + (1-b)/n +1/n² +o(1/n²)
si a!=1 un tends vers 1-a la série dv grosse,
si a=1 la série diverge si b!=1
en fin de compte on a convergence ssi a=b=1



celle là je bloque (faut dire qu'elle fait peur), je la mets sous forme exponentielle e^(truc). après l'idée c'est quoi, on fait un dl de sin je vais test ça