Le cahier des series numériques

[Lostounet]

Pour les 3 autres, ok pour la 1 et la 2, à part une petite erreur dans le dl de la 1).

Pour la 3), on peut prendre l'exp, cela fait : exp (ln n / n^a) - 1, qui est équivalent (car a>0) à ln n / n^a (e^t-1 equiv t en 0, par la limite, le DL à l'ordre 1, ou le TAF).

Une des belles séries que j'ai vue sur ce forum il y a quelques temps.

[Pseuda]

Bonsoir Lostounet,

Jolie en effet, mais message encore perdu. Pas le courage de tout ré-écrire. La série converge (on fait un DL à l'ordre 1, et on transforme le cos n en 2 cos^2 (n/2) -1 pour obtenir des termes de signe constant multipliés par (-1)^n, dont les séries convergent par le critère des séries alternées).

[Lostounet]

Je vais te donner un conseil pour éviter de perdre tes messages.
Avant de cliquer sur envoyer, tu sélectionnes tout le texte et tu le copies (je le fais systématiquement). Puis tu envoies et si c'est perdu... tu colles.

[vejitoblue]

je pense à abel direct en voyant ça, mais ça va pas (ln + cos)^-1 est pas décroissante.
le dl tu le fais sur quoi pseuda, ça saute pas aux yeux =/. bien vu en tout cas la trasformation du cos en 2cos²-1 du coup pour n grand (pas tellement d'ailleurs): ln(n)-1+2cos²(n/2) est bien croissante pas besoin de dl.

le seul résultat que j'ai sur les séries alternées c'est si |un| décroit vers zéro alors converge. et c'est le cas ici. on peut même utiliser abel à mon avis si les sommes partielles de (-1)^n sont bornées par 2 par ex

[Ben314]

...bien vu en tout cas la transformation du cos en 2cos²-1 du coup pour n grand (pas tellement d'ailleurs): ln(n)-1+2cos²(n/2) est bien croissante pas besoin de dl.

J'ai plus que des doutes concernant le fait que la suite soit croissante : la pente de tend vers 0 donc augmente de moins en moins vite alors que lui augmente et diminue de -1 et 1 "toujours à la même vitesse" donc pour n grand, c'est lui qui va déterminer la monotonie et c'est mal barré...
Et, bien évidement, d'écrire différemment l'expression de la même suite Un, ça risque pas de changer quoi que ce soit à la monotonie de la suite.

[vejitoblue]

ouais clairement je me suis embrouillé là, la fatigue du matin lol =)
on change rien on fait juste une écriture différente.... le cos est bien chiant il est "pas négligeable" c'est à cause de lui qu'on peut pas conclure.

j'ai du me dire super cos carré est positif mais j'ai confondu avec la "monotonie" quelque part

[Pseuda]

Bonjour vejitoblue,

On fait le DL en factorisant Un par (-1)^n / ln n.

[Pseuda]

Je vais te donner un conseil pour éviter de perdre tes messages.
Avant de cliquer sur envoyer, tu sélectionnes tout le texte et tu le copies (je le fais systématiquement). Puis tu envoies et si c'est perdu... tu colles.

Bonjour Lostounet,

Merci. Je le fais mais n'y pense pas systématiquement à chaque fois. En ce moment, ça déconnecte intempestivement.

[vejitoblue]

merci pseuda, donc on fait un dl de 1/(1+x) c'est ça. j'ai tout les indices mais j'arrive pas encore à résoudre, y a du level là =)

si j'ai bon x=(2cos²(n/2)-1)/ln(n)
et notre dl a lordre 1 est 1/(1+x)= 1+x+o(1/ln(n))

on a aussi x \in ]-1,1] donc 1+x \in }0,2] ça nous dit qu'on est alternée mais rien sur la monotonie again

[Ben314]

On fait le DL en factorisant Un par (-1)^n / ln n.

Perso, je vois pas trop comment on conclue avec un D.L. (d'ordre quelconque).
Tu fait quoi du terme d'erreur (i.e. du "petit o") dans ton D.L. ?
(en général, on le majore en valeur absolue pour montrer que c'est le terme général d'une série absolument C.V., sauf que là, quel que soit l'ordre du D.L., ça marche jamais...)

[vejitoblue]

Allez, en attendant de trouver la solution de la belle série:







pour a_n on utilise d'alembert pour trouver qui converge vers 1/1+a et donc on trouve la convergence de quand 1/1+a<1 cad a>0 la divergence si a<0 et si a=0 la serie a_n diverge grossièrement

pour la b_n j'ai pas trouvé de critère adequat donc il faut sans doute travailler le ln en mettant n² en facteur:
ln(n²(1+1/n+1/n²)=2ln(n)+ ln(1+1/n+1/n²) donc que

comme lnx<x (=ln(e^x) et que exp et ln croissantes), on en déduit que 1/2ln(n) > 1/2n terme de la série harmonique donc divergente

pour c_n pour l'instant j'ai trouvé qu'elle diverge pas grossièrement, le reste....

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

Oui le problème est bien le petit o.

En effet ça ne marche pas avec la transformation cos n = 2 cos^2 (n/2) - 1, la 1ère partie n'est pas décroissante, et en valeur absolue j'ai l'impression que sa série diverge.

Il me semble préférable pour le terme en (-1)^n * cos n / (ln n)^2, de transformer le numérateur par cos(pi*n) * cos n = 1/2 (cos(n(pi-1))+cos(n(pi+1))) pour utiliser la transformation d'Abel, donc la série converge, mais pas absolument.

Pour le terme en o(cos n /ln^2), on peut l'englober dans le terme précédent par une équivalence. Mais le terme n'est pas positif et on ne peut faire ça.

Par ailleurs, je ne pense pas que la série (-1)^n cos n / (ln n)^2 soit asbolument convergente. Comment le montrer d'ailleurs, que la série de terme |cos n | / ln n diverge ?

[vejitoblue]

salut les amis!
petit exo un peu différent que de chercher la nature dune série

(an) une suite décroissante positive telle que converge

1)montrer que na_n converge vers 0
2) montrer que ce résultat est faux si (a_n) n'est pas décroissante
3)soit (un) décroissante de termes strictement positifs, on suppose qu'il existe (n_k) strict. croissante tq pour tout k>0 montrer que diverge

1)évident.. nan je blague, en fait a mon avis a_n doit etre négligeable face à 1/n vu que la série converge par hypothèse, si na_n converge vers l>0 alors anl/n. mais peut etre est-ce de la merde

2) la négation de decroissante pour les suites c'est non( pour tout n , m>n => a_m a_n) donc il existe un n tq m>n et a_m>a_n (j'espère que c'est la bonne logique)
Après comment procéder; je ne sais guère , na_m>na_n, je pense à bolzano weirstrass si (a_n) cv vers zero elle est bornée on prend une sous-suite non décroissante et fatalement elle converge vers l different de 0... et na_n du coup tend vers infini HELP!!!
que dire de na_n dans ces conditons

edit: j'abuse si une suite converge toutes ses sous suite convergent vers la même limite

[Ben314]

Comment le montrer d'ailleurs, que la série de terme |cos n | / ln n diverge ?

Ca, c'est facile : tu montre (par l'absurde) que, en prenant 2 termes successifs de la suite |cos(n)|, forcément au moins un des deux est >= 1/100 et ça prouve que la somme des |cos(n)|/ln(n) est supérieurs à la somme des 1/(100*ln(2n)) qui est divergente.

[Ben314]

Sinon, concernant la série de terme général , si tu fait un D.L. à l'ordre au sens usuel du terme, ton "petit o", à la fin, c'est un truc du style or un "petit o", tout ce que tu peut en dire, c'est que tu peut le majorer en valeur absolue et comme le truc dans le "petit o" n'est jamais absolument C.V. (quelque soit d), ça ne permet jamais de conclure.

Au mieux, ce que tu peut faire, c'est de calculer le "vrai" reste dans la formule de Taylors (et pas le "petit o") ce qui, dans le cas présent est immédiat :
Donc et, appliqué à ça donne

C'est à dire

Et, comme les séries de terme général

sont toutes convergentes (via le critère d'Abel) ça te dit que la nature de la série de terme général est la même que celle de terme général .
Sauf que j'ai pas l'impression que ça t'avance à quoi que ce soit...

[Pseuda]

Bonsoir,

@Ben314 Les termes du DL aussi loin qu'on le pousse donnent tous une série convergente. Le problème est le reste, par exemple le 1er reste est (-1)^n * cos n / (ln n * (ln n + cos n)). Il faudrait pouvoir montrer que les sommes partielles de la série de terme (-1)^n * cos n / (ln n + cos n) sont bornées pour pouvoir utiliser Abel, sauf que là...

@vejitoblue J'ai répondu trop vite concernant n*an ->0, ça doit être plus compliqué que ça.

[vejitoblue]

j'étais justement en train de chercher un contr exemple pour la 2)

si a_n = (-1)^n/n, la série a_n converge par abel (alternée +|an|->0), a_n est pas décroissante mais le hic c'est que a_n est pas toujours poistive comme dans l'hypothèse même si on ajoute un au numérateur ça marche pas la série ((-1)^n+1)/n diverge, faut trouver autre chose, une suite (an) non décroissante qui converge vers 0 et dont la série converge et dont nan converge vers autre chose que zero.

la belle serie 1/ln+cos répond à ce critère non, mais on a pas encore prouvé que sa convergence, il doit y avoir plus simple

[Lostounet]

Pour ceux qui s'intéressent à la série magique: superieur/serie-alternee-t185737.html

[Pseuda]

Bonsoir Lostounet,

Bon d'accord. Avec le DL dont les termes à tout ordre sont à série convergente, j'avais imaginé quelque chose comme ça (somme double), mais enfin c'est quand même assez compliqué pour quelque chose d'aussi évident intuitivement (le cos n négligeable devant le ln n).

[Ben314]

...pour quelque chose d'aussi évident intuitivement (le cos n négligeable devant le ln n).

Là, je suis zéro d'accord : déjà, les séries convergentes mais pas absolument convergentes, fondamentalement, "ça devrait pas exister", dans le sens qu'on devrait les appeler des séries divergentes : c'est pas par hasard que, dans la théorie de la mesure (de Lebesgue), pour qu'une fonction soit dite "intégrable", il faut qu'elle soit intégrable en valeur absolue. Et d'ailleurs beaucoup d'auteurs les appelles poliment "semi convergentes".
Bref un quelconque coté "intuitif" pour les séries semi convergente, j'y crois absolument pas.

Et le coté "cos(n) est négligeable devant ln(n)", ben j'y crois pas du tout non plus vu que par exemple la série de terme général est divergente alors que la série de terme général et "aussi bien" convergente que celle de terme général