Inégalité olymp

[Mery05]

Soient n , a et b des nombres entiers naturels non nuls tels que a>b et n²+1=ab
1) Montrer que a;)b;);)(4n;)3)
2) Trouver toutes les valeurs de n pour que l'égalité ait lieu

[Matt_01]

Si on note , la condition s'écrit et donc b est racine de X^2+uX-(n^2+1).
Le discriminant D est égal à .
Mais ce discriminant doit être un carré parfait (si on regarde les solutions, |2b+u| est un entier et est égal à la racine de D).
Or donc et donc

Le cas d'égalité est assez simple, il faut regarder les conditions pour que 4n-3 soit un carré parfait et que -rac(4n-3)+(2n+1) soit pair.

[Ben314]

Salut,

1) On a évidement .
donc
donc
d'où

2) Vu la preuve ci dessus, il y a égalité ssi soit et il faut que soit (calculs) .
On peut paramétrer les solutions en posant (par exemple) , d'où
ce qui donne , et

EDIT : pas assez rapide... :dodo:

[godzylla]

Si on note , la condition s'écrit et donc b est racine de X^2+uX-(n^2+1).
Le discriminant D est égal à .
Mais ce discriminant doit être un carré parfait (si on regarde les solutions, |2b+u| est un entier et est égal à la racine de D).
Or donc et donc

Le cas d'égalité est assez simple, il faut regarder les conditions pour que 4n-3 soit un carré parfait et que -rac(4n-3)+(2n+1) soit pair.

j'ai pas compris apres
b²+bu-(n^2+1)=0

les solutions<100:
b= 1a= 2 n= 1
b= 1a= 5 n= 2
b= 1a= 10 n= 3
b= 1a= 17 n= 4
b= 1a= 26 n= 5
b= 1a= 37 n= 6
b= 1a= 50 n= 7
b= 1a= 65 n= 8
b= 1a= 82 n= 9
b= 2a= 5 n= 3
b= 2a= 13 n= 5
b= 2a= 25 n= 7
b= 2a= 41 n= 9
b= 2a= 61 n= 11
b= 2a= 85 n= 13
b= 5a= 10 n= 7
b= 5a= 13 n= 8
b= 5a= 29 n= 12
b= 5a= 34 n= 13
b= 5a= 58 n= 17
b= 5a= 65 n= 18
b= 5a= 97 n= 22
b= 10a= 17 n= 13
b= 10a= 29 n= 17
b= 10a= 53 n= 23
b= 10a= 73 n= 27
b= 13a= 25 n= 18
b= 13a= 34 n= 21
b= 13a= 74 n= 31
b= 13a= 89 n= 34
b= 17a= 26 n= 21
b= 17a= 53 n= 30
b= 17a= 85 n= 38
b= 25a= 41 n= 32
b= 25a= 74 n= 43
b= 26a= 37 n= 31
b= 26a= 85 n= 47
b= 29a= 58 n= 41
b= 29a= 73 n= 46
b= 34a= 65 n= 47
b= 34a= 89 n= 55
b= 37a= 50 n= 43
b= 41a= 61 n= 50
b= 50a= 65 n= 57
b= 58a= 97 n= 75
b= 61a= 85 n= 72
b= 65a= 82 n= 73