Fonction périodique

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Anonyme

Fonction périodique

par Anonyme » 12 Juin 2010, 22:36

Bonjour. Je rencontre quelques difficultés dans la résolution de cet exercice. Pouvez vous m'aider ? Voici l'énoncé: soit d un nombre irrationnel. Démontrer que la fonction f(x)=sin x + cos(dx) n'est pas périodique.
Merci !



Micki28
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par Micki28 » 12 Juin 2010, 22:45

Bonjour,

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I.

f est périodique si et seulement si:

f ( x + T) = f ( x )

Anonyme

par Anonyme » 12 Juin 2010, 23:03

Ça je sais mais ?

Zweig
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par Zweig » 12 Juin 2010, 23:04

Va voir du côté du théorème de Jacobi-Kronecker.

Zweig
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par Zweig » 12 Juin 2010, 23:20

Bon, si on remplace le sinus par un cosinus, le problème est simple.

Je continue à chercher pour le problème initial (mon "indication" s'avère peut être fausse ...)

vingtdieux
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par vingtdieux » 13 Juin 2010, 00:13

Il suffit de montrer que cos(dx) n'est pas de période 2kPi où k est un entier.
Ce qui ne doit pas poser de probleme vu que d est irrationnel....

ffpower
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par ffpower » 13 Juin 2010, 00:21

Indic : dériver 2 fois

Zweig
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par Zweig » 13 Juin 2010, 01:13

Sinon, on peut utiliser le résultat suivant :

, continue sur et non constante est périodique si et seulement si , avec et les périodes respectives de et .

Dans notre cas, est périodique et est périodique. Or le rapport vaut , irrationnel par hypothèse. Donc la fonction considérée n'est pas périodique.

nodjim
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par nodjim » 13 Juin 2010, 09:04

sinx=sin(x+2pi) période 2pi.
cosdx=cos(dx+2pi)=cos(d(x+2pi/d)) période x+2pi/d
La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi.
ppcm=1*1/d=1/d
si d irrationnel, 1/d irrationnel.
La fonction n'est pas périodique.

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 09:36

Merci mais je ne comprends pas trop cela :
La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi

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Ben314
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par Ben314 » 13 Juin 2010, 09:57

Salut,
A mon avis, le plus simple est plutôt d'utiliser l'indic de ffpower qui demande uniquement comme connaissance de savoir que :

1) Si f est périodique de période T alors f" aussi

2) Si f et g sont périodiques de même période T alors, pour tout a,b dans R, a.f+b.g est aussi périodique de période T.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 10:02

Oui mais je suis en seconde... La méthode de nodjim paraît plus adaptée à ce niveau non ?

Black Jack
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par Black Jack » 13 Juin 2010, 10:52

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

a.T1 = b.T2
T2/T1 = a/b

*******
Dans le cas présent :
g(x) = sin(x), T1 = 2Pi
h(x) = cos(dx), T2 = 2Pi/d

T2/T1 = 1/d

1/d n'est pas rationnel et donc f(x) n'est pas périodique.

:zen:

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 11:24

Black Jack a écrit:La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

a.T1 = b.T2
T2/T1 = a/b

*******
Dans le cas présent :
g(x) = sin(x), T1 = 2Pi
h(x) = cos(dx), T2 = 2Pi/d

T2/T1 = 1/d

1/d n'est pas rationnel et donc f(x) n'est pas périodique.

:zen:

Merci beaucoup ! C'est beaucoup plus clair :)
toutefois :
La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.
Ceci se justifie ?

Nightmare
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par Nightmare » 13 Juin 2010, 11:30

Salut,

ce genre d'exercice n'est pas facile, en tout cas surement pas de niveau seconde.

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.


Ceci est malheureusement faux, il suffit de prendre h=-g pour s'en rendre compte.

Je pense que la preuve la plus "élémentaire" est celle proposée par ffpower, le problème est qu'elle ne s'adapte pas à toutes les situations. Dans un cadre plus général, pour étudier les périodes de f+g, il faut connaitre le résultat classique sur les sous-groupes additifs de R.

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 11:33

C'est l'histoire du théorème de Kroenecker Nightmare ?
(Voir message Zweig)

Nightmare
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par Nightmare » 13 Juin 2010, 11:34

Je ne connais pas le théorème dont parle Zweig, ou, si je le connais, c'est surement sous un autre nom (ou peut être sans nom du tout).

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 11:35

Soit G un groupe abélien fini.

* Il existe une unique suite (a1,a2,...,ak) d'entiers > 1 telle que G soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite:

G\simeq \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}\;,

et que ai+1 divise ai pour tout i entier entre 1 et k - 1.

* Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.

Anonyme

par Anonyme » 13 Juin 2010, 11:36

sinx=sin(x+2pi) période 2pi.
cosdx=cos(dx+2pi)=cos(d(x+2pi/d)) période x+2pi/d
La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi.
ppcm=1*1/d=1/d
si d irrationnel, 1/d irrationnel.
La fonction n'est pas périodique.

Ceci est faux alors ?

Nightmare
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par Nightmare » 13 Juin 2010, 11:38

Oui, pour la même raison :

"La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi."

Ceci est généralement faux.

 

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