Fonction périodique

par **Anonyme** » 13 Juin 2010, 11:41

D'accord :)

par **nodjim** » 13 Juin 2010, 13:04

Nightmare a écrit:Ceci est malheureusement faux, il suffit de prendre h=-g pour s'en rendre compte.

Salut Nightmare.
Si h(x)=-g(x), h et g 2 fonctions périodiques, leurs périodes sont égales, non ?

Maintenant, j'aimerais bien voir un exemple d'une fonction périodique, somme de 2 fonctions périodiques dont le rapport entre leurs périodes est irrationnel.

par **Nightmare** » 13 Juin 2010, 13:34

nodjim a écrit:Salut Nightmare.
Si h(x)=-g(x), h et g 2 fonctions périodiques, leurs périodes sont égales, non ?

Oui et donc tout réel est période de h+g, pas seulement le PPCM de leur période et ses multiples.

Concernant la suite, c'est justement ce qu'il faut montrer dans ce cas particulier. Effectivement si f et g sont périodiques et que le rapport de leur période est irrationnel, alors f+g n'est jamais périodique.

(Rapidement, si T est une période de f+g, on montre que T est aussi une période de f et g : la fonction h : x->f(x+T)-f(x) admet pour période les périodes a et b de f et g, on montre que a/b irrationnel implique aZ+bZ est dense dans R, donc que h est constante sur R, puis qu'elle est identiquement nulle (par exemple en disant que sa moyenne sur [0,a] l'est par a-périodicité), même chose pour g à la place de f, donc f et g sont T périodiques. On conclut ensuite en utilisant le caractère discret du groupe des périodes d'une fonction.)

par **ffpower** » 13 Juin 2010, 14:09

Nightmare a écrit:si T est une période de f+g, on montre que T est aussi une période de f et g

C est louche ca, non?

par **Nightmare** » 13 Juin 2010, 14:11

Pourquoi donc? Les grandes lignes de la démo ne te convainquent pas ?

par **ffpower** » 13 Juin 2010, 15:04

Non, au temps pour moi, ca marche

par **ffpower** » 13 Juin 2010, 15:22

Extension naturelle : la somme de k fonctions continues,non constantes, périodiques, dont les périodes sont linéairement indépendantes sur Q peut elle etre periodique?
Edit : bon bah la réponse est oui, je laisse chercher..

par **Black Jack** » 15 Juin 2010, 19:00

Je persiste en ajoutant 2 mots.

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) non constante somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

a.T1 = b.T2
T2/T1 = a/b

*******
Dans le cas présent :
g(x) = sin(x), T1 = 2Pi
h(x) = cos(dx), T2 = 2Pi/d

T2/T1 = 1/d

1/d n'est pas rationnel et donc f(x) n'est pas périodique.

:zen:

par **Nightmare** » 15 Juin 2010, 19:04

C'est vrai mais comment le prouves-tu ? Je ne vois pas sans passer par les sous-groupes additifs de R encore une fois...

par **Black Jack** » 16 Juin 2010, 12:18

Démontrer l'évidence ?

Si g(x) est de période T1, il est évident que a.T1 avec a dans N* est aussi une période de g(x).
Donc g(x) est identique à lui même tous les"a.T1"

De manière analogue ...
h(x) est identique à lui même tous les b.T2 (avec b dans N*)

Donc si il est possible d'avoir a.T1 = b.T2, pour toutes les valeurs de x tel que x = xo + a.T1, on a h(x) et g(x) égaux à eux mêmes et donc aussi (h(x)+g(x)) égal à lui même et ceci quel que soit xo et alors a.T1 est une période de f(x) = h(x) + g(x).

En prenant la valeur minimum de a (entier strictement positive), on a a.T1 est une période (la plus petite possible, donc celle cherchée) de f(x).

Il reste à exprimer cela mieux que je ne l'ai fait.

:zen:

par **Nightmare** » 16 Juin 2010, 12:54

Salut,

ça ne marche pas quand même, a priori rien ne dit que les périodes sont de la forme aT1.

Par exemple je prends f(x)=1 sur Q et 0 ailleurs, l'ensemble des périodes de f est Q tout entier.

par **Doraki** » 16 Juin 2010, 13:34

ffpower, j'aimerais bien un exemple :
il me semble que la preuve de Nightmare se généralise bien.

Pour t > 0, je définis l'opérateur dt par : dt(f)(x) = f(x+t)-f(x).
dt transforme une fonction continue en une fonction continue,
les dt sont des opérateurs linéaires et commutent entre eux.

Si f est une fonction continue, si t1/t2 est irrationnel, et si
dt1(f) = dt2(f) = 0, alors f est constante.
Si f est une fonction continue, si dt1(f) = 0 et dt2(f) est constante, alors dt2(f) = 0.

Si S = {t1...tn}, je désigne par dS la composée des dti.

On suppose donc qu'on a k fonctions f1,...,fk, telles que f1+...+fk = 0 ;
k périodes t1,...,tk telles que dti(fi) = 0.
On suppose en outre que pour tout i
Alors on montre que pour toute partie S de {t1...t(k-1)} et pour tout i,
dS(dtk(fi)) = 0 :

Si |S| >= k-2 alors ou bien ti est dans S, et donc dS(fi) = 0, d'où dS(dtk(fi)) = 0,
ou bien tous les autres ti sont dans S, et alors 0 = dS(dk(0)) = dS(dk(f1+f2+...+fk)) = dS(dk(fi)).

Si |S| <= k-3 alors il existe jdtj(dS(dtk(fi))) = dtj'(dS(dtk(fi))) = 0 (en faisant une récurrence)
donc comme tj/tj' est irrationnel, dS(dtk(fi)) = dtk(dS(fi)) est constante.
Et comme dS(fi) est continue et que dti(dS(fi)) = 0, dtk(dS(fi)) = dS(dtk(fi)) = 0.

Ceci montre en particulier en prenant S vide, que pour tout i, dtk(fi) = 0,
c'est-à-dire que toutes les fonctions sont tk-périodiques.

Si ti/tk est irrationnel pour tout i, ça implique que toutes les fonctions sont constantes.
Si ti/tk est rationnel pour un i, ça implique que toutes les fonctions à part fi et fk sont constantes.

Donc une somme de fonctions continues périodiques non constantes de périodes deux-à-deux incommensurables donnera toujours une fonction non-périodique.

par **Black Jack** » 16 Juin 2010, 20:06

Nightmare a écrit:Salut,

ça ne marche pas quand même, a priori rien ne dit que les périodes sont de la forme aT1.

Par exemple je prends f(x)=1 sur Q et 0 ailleurs, l'ensemble des périodes de f est Q tout entier.

Il ne faut pas chercher midi à 14 h.

Il suffit de regarder le profil du membre qui a posé la question initiale pour s'apercevoir qu'il a environ 16 ans et que donc, pour son niveau d'étude, sa question est posée sans arrières pensées alambiquées.

Dans le cadre de sa question il est évident que :
Si T1 est la période de g(x) (la plus petite, celle utilisée par les physiciens et pas par les matheux), alors on a f(x) = f(x + a.T1) avec a dans N* et ...

:zen:

par **ffpower** » 16 Juin 2010, 20:41

Doraki : Sorry, par oui, je voulais dire que le théo de Nightmare se généralisait bien en dim superieure, j'me suis pas relu quand j'ai édité :marteau:

Ta preuve peut se simplifier au passage : avec tes notations, si f1+...+fk=0 et ti/tj irrationnel, alors dt1(f1)+...+dt1(fk)=0, et comme dt1(f1)=0, on utilise une reccurence pour obtenir que les dt1(fi) sont constants, donc nuls, et donc que les fi ont 2 periodes incommensurables et sont donc constantes..

Ya aussi le moyen "j'me la pete": en regardant les coeffs de Fourier généralisés des fi :

et en justifiant qu'ils sont tous nuls a part le coeff constant..
( ce qui est bien avec cette méthode, c'est qu'elle permet de traiter le cas d'une somme infinie convergeant uniformément ^^)

par **Nightmare** » 17 Juin 2010, 01:17

Black Jack a écrit:
Dans le cadre de sa question il est évident que :
Si T1 est la période de g(x) (la plus petite, celle utilisée par les physiciens et pas par les matheux), alors on a f(x) = f(x + a.T1) avec a dans N* et ...

:zen:

Moi je dis juste qu'on ne peut pas parler dans un cadre général de "la plus petite période", maintenant si tu as envi de le faire tu peux :lol3: Mais il est évident que ça ne règle pas le problème posé ici.

par **Black Jack** » 17 Juin 2010, 12:43

Nightmare a écrit:Moi je dis juste qu'on ne peut pas parler dans un cadre général de "la plus petite période", maintenant si tu as envi de le faire tu peux :lol3: Mais il est évident que ça ne règle pas le problème posé ici.

Pas d'accord, tout dépend des définitions utilisées...
Qui comme d'habitude sont loins d'être les mêmes pour tous.

En général, en physique :
La période d'un signal périodique f(x) est la plus petite valeur de T strictement positive telle que f(x) = f(x + T) pour toute valeur de x dans le domaine d'existence de f(x).

:zen:

par **Nightmare** » 17 Juin 2010, 12:50

Ce n'est pas une définition que tu as mais une propriété, vraie lorsque f est continue, fausse dans le cas général. Il n'a jamais été écrit dans aucun cours sur la périodicité, que ce soit en maths ou en physique, qu'une fonction quelconque admet une plus petite période positive !

par **Black Jack** » 17 Juin 2010, 18:34

Nightmare a écrit:Ce n'est pas une définition que tu as mais une propriété, vraie lorsque f est continue, fausse dans le cas général. Il n'a jamais été écrit dans aucun cours sur la périodicité, que ce soit en maths ou en physique, qu'une fonction quelconque admet une plus petite période positive !

Faux.
C'est une définition plus que très souvent utilisée en physique.

Et que non qu'il n'est pas nécessaire que f soit continue.

La fonction f(x) = tan(x) n'est pas continue et pourtant elle est Pi périodique en se basant sur la définition que j'ai donnée.

Remarque: La formule f = 1/T (avec f la fréquence d'un signal périodique et T sa période) qui est évidemment utilisée par tous dans une multitude de domaines en Physique ne souffre aucune autre définition que celle que j'avance.

La période d'un signal 50 Hz est T = 20 ms, tout comme la fréquence d'un signal de période 20 ms est de 50 Hz. Celui qui prétendra autre chose à un électricien ...

On peut toujours choisir une autre définition, sans le préciser dans l'énoncé on laisse libre choix à tous et la foire règne.

Chacun à sa définition et pense que c'est la seule correcte.
C'est probablement un des problèmes majeurs engendrant de nombreuses incompréhensions.
Quelle est la définition de "la période" qui a été donnée à l'auteur de la question ? Pour autant qu'on lui en ait fourni une.

:zen:

par **Nightmare** » 17 Juin 2010, 19:06

Black Jack a écrit:Faux.
C'est une définition plus que très souvent utilisée en physique.

Je comprends pas... Il me semble très clairement que le problème ici est mathématique, pas physique. Depuis quand a-t-on le droit de répondre à des problèmes en prenant des définitions simplifiées des notions employées? En plus ici, la difficulté du problème est principalement dans les cas pathologiques, alors je vois tout sauf un intérêt de prendre une définition où les cas sont simples...

Et que non qu'il n'est pas nécessaire que f soit continue.

La fonction f(x) = tan(x) n'est pas continue et pourtant elle est Pi périodique en se basant sur la définition que j'ai donnée.

Soit, tu remarqueras que je n'ai parlé de condition nécessaire nulle part dans mon message... J'ai dit que c'était "vrai lorsque f était continue"...

Pour la suite, franchement c'est du n'importe quoi, je ne comprends même pas pourquoi nous avons cette discussion. Effectivement on parle de "La" période en physique car les signaux traités sont continus, au moins par morceau, mais en aucun cas cela donne le droit de dire que c'est la définition d'une fonction périodique quelconque. Bref, je m'arrête ici, cette discussion n'a aucun sens.

par **vingtdieux** » 17 Juin 2010, 22:50

Tout a fait d'accord avec BlackJack. Physique ou pas physique. La période d'une fonction périodique c'est le plus petit T tel que f(x)=f(x+T).
Si on a une période de 1 alors dans un langage plus moderne j'ecrirais:
f(x)*||| (x) (cha de x)
ouais

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