Fonction périodique

[busard_des_roseaux]

Et si on prend l'indicatrice de Q, c est quoi sa periode?

bonsoir,

un rapide topo de ce que sont les périodes

on suppose les fonctions définies sur R
une période T est tout nombre tel que

une fonction est périodique si elle admet au moins une période non nulle.

prop1 : l'ensemble des périodes est un sous-groupe G , additif de R

deux cas disjoints se présentent alors:

1) les éléments strictement positifs de G admettent un plus petit
élément .
L'ensemble des périodes est alors discret, constitué de points isolés,
à l'instar de

toutes les périodes sont des multiples entiers de .

2)
1) les éléments strictement positifs de G n'admettent pas de plus petit
élément.
exemple admet chaque rationnel comme période.
l'ensemble des périodes est alors dense dans R , sans nécéssairement
que f soit constante. ceçi écrit, si f est continue et que G est dense dans R, alors f est constante

Par contre avec les fonctions complexes méromorphes, il y a les
fonctions de Weierstrass particulièrement étudiées, qui sont doublement
périodiques, les deux périodes étant R-linéairement indépendantes

[Benjamin]

Bonsoir,

2 choses :


Sur les propos de Black Jack à propos de multinationales etc...
Je rejoins l'avis de Nightmare. On est ici sur un forum de maths, et même si on peut très bien être amené à traiter de sujet de maths appliqués, de maths-physique etc... Il n'en reste pas moins normal de s'appuyer sur des définitions mathématiques des objets mathématiques que l'on manipule...


Sur le fond du problème.
En maths, j'ai toujours vu (et j'ai pas fait des études très poussées en maths...) :

Définition 1 : f est une fonction périodique si il existe un réel T non nul tel que f(x+T)=f(x) pour tout x (avec x, x+T et x-T dans Df). L'ensemble des T tel que... sont les périodes de f.

Définition 2 : Soit f une fonction périodique : On appelle T LA période de f le plus petit élément de l'ensemble de t tel que f(x+t)=f(x) pour tout x (avec x, x+T et x-T dans Df) SI IL EXISTE.

En gros, selon moi, vous avez tous les 2 torts et raison à la fois. Il y a 2 notions différentes !! La notion de périodicité et la notion de LA période de f.

Nightmare parle de la définition de la périodicité, Black Jack parle de la définition de LA période de f. Dans le cadre de cet exercice, on parle de périodicité (montrer que f n'est pas périodique) et non pas de LA période de f (il n'est pas demandé de montrer que f n'admet pas une période minimale).

Black Jack, tu as tout à fait raison sur le fait de se mettre au niveau de l'élève etc... mais tu dois comprends qu'il y a un résultat faux en mathématique dans le cas général qui ne peut pas permettre de conclure l'exercice sans plus de précision :
"f n'admet pas de période minimale => f non périodique."

[mathelot]

bonjour,

on va quand même lui faire son exo :doh:

supposons que f admette une période T>0 (les Anciens appellent ce type de raisonnement "réduction par l'absurde")

alors



alors pour x=0

et pour x=-T

sin(T)=0
il existe un entier relatif k tel que
cos(dT)=1
il existe un entier relatif k' tel que
k est non nul car T>0
d'où

la conclusion du raisonnement est fausse.
La prémisse ne peut être vraie.
d'après le principe du tiers exclu (A ou non A), c'est sa négation
qui est vérifiée

conclusion f n'admet pas de période strictement positive.

[bacha]

votre discutions est très intéressante mais je veux bien savoir la solution de ce problème

[Black Jack]

Juste pour info en complément de tout ce qui a déjà été dit :

On trouve ceci :
Par convention, quand on dit qu'une fonction est T-périodique, cela signifie que T est la plus petite période de la dite fonction.

Sur ce lien par exemple:
http://tanopah.jo.free.fr/seconde/Fperiodique.html

:zen:

[Nightmare]

Il n'a jamais été dit le contraire :lol3:

[Ben314]

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

Perso, ce qui me chagrine le plus, c'est qu'avec ça, on trouve que "LA" période de sin(50x) = (sin(x)+sin(50x)) + (-sin(x)) , c'est 2pi vu qu'on a ajouté deux fonctions périodiques de périodes 2pi.
Perso, j'aurais plutôt dit que LA période de sin(50x) c'était 2pi/50...

Dans le lien juste au dessus par donné par Black Jack il est (heureusement) précisé qu l'on dit que T est UNE période.

[Black Jack]

Il n'a jamais été dit le contraire :lol3:

Ah bon.

:zen:

[Nightmare]

Par convention, quand on dit qu'une fonction est T-périodique, cela signifie que T est la plus petite période de la dite fonction.

Quel rapport avec notre conversation Black Jack ? C'est effectivement la définition d'une fonction T-périodique (en supposant que T est défini auparavant) et non la définition d'une fonction périodique... J'ai l'impression que tu te mélanges les pinceaux.

[ffpower]

Perso pour moi, quand on dit qu'une fonction est T-periodique, c'est que T est une periode, pas LA periode. Par exemple je trouve rien de chocant à dire que sin est 4pi periodique. J'ai pas trop le temps de regarder le lien, mais je suis très étonné qu'il y en ait qui ne pensent pas comme ca. Parce que bon, en théorie de Fourier, on parle tout le temps de fonctions 2pii periodiques. c'est quand même ballot si on peut pas appliquer celle ci aux fonctions pi-periodiques :)

[Black Jack]

Perso pour moi, quand on dit qu'une fonction est T-periodique, c'est que T est une periode, pas LA periode. Par exemple je trouve rien de chocant à dire que sin est 4pi periodique. J'ai pas trop le temps de regarder le lien, mais je suis très étonné qu'il y en ait qui ne pensent pas comme ca. Parce que bon, en théorie de Fourier, on parle tout le temps de fonctions 2pii periodiques. c'est quand même ballot si on peut pas appliquer celle ci aux fonctions pi-periodiques

Le "Pour moi" est bien ce qui ne va pas.
Il y a de multiples définitions et chacun pense que c'est celle qu'il utilise qui est la bonne.

En tous cas, tu n'as pas la même que définition de la fonction T périodique que celle qui est dans le lien que j'ai donné... et qui est très largment enseignée en secondaire.

Mais ce serait sans importance si ce mic-mac dans les diverses définitions et interprétations n'engendrait pas énormément de quiproquo.

:zen:

[Black Jack]

Quel rapport avec notre conversation Black Jack ? C'est effectivement la définition d'une fonction T-périodique (en supposant que T est défini auparavant) et non la définition d'une fonction périodique... J'ai l'impression que tu te mélanges les pinceaux.

Penses-tu vraiment que les réponses que tu as données sont celles attendues au niveau lycée, qui est pourtant bien la "section" du forum où cette question a été posée ?

Dans le cas contraire, essaie de te rappeler que les définitions données à ce niveau sont souvent tronquées et que beaucoup de propriétés y sont données sans aucune démo et à appliquer sans plus.

Certains me font penser, par leur manière de répondre, à un physicien qui tenterait d'expliquer à un élève de 15 ans pourquoi et comment un caillou laché tombe sur le sol en utilisant la théorie de relativité générale puisque on sait que la notion de force de gravitationn bien connue (F = GmM/d²) est fausse puisque non compatible avec la RR.

Adapter sa réponse au niveau de celui qui pose la question est primordial.


:zen:

[Nightmare]

Black Jack > Je le redis, cela n'a aucun rapport avec notre discussion initiale, mais tu sembles carrément borné à ce sujet, à tort.

Je n'ai fait que te dire qu'il existait des fonctions périodiques qui n'admettaient pas de plus petite période, et ta réponse est " par définition, une fonction T-périodique est une fonction périodique de plus petite période T". C'est vraiment censé contredire ce que j'ai dit?

Dans le même style d'idée : j'énonce qu'il existe des fonctions dérivables de dérivée discontinue, et j'imagine bien ta réponse : "faux, par définition, une fonction de classe est une fonction dérivable dont la dérivée est continue"...

[Doraki]

Moi, ce qui me chagrine, c'est que quelle que soit la définition de fonction périodique utilisée, je ne comprends toujours pas comment Black Jack montre que si f et g sont périodiques et que le rapport de leurs périodes (que ce soit la période ou une période) est irrationnel alors f+g n'est pas périodique.

[Ben314]

Si j'ai tout bien compris, ça "preuve" est dand son post #28 :

Démontrer l'évidence ?

Déjà, là, je trouve que ça commence pas terrible...

...Donc si il est possible d'avoir a.T1 = b.T2...

Là, il me semble clair qu'il prend comme hypothèse que le rapport T1/T2 est rationnel.

...En prenant la valeur minimum de a (entier strictement positive), on a a.T1 est une période (la plus petite possible, donc celle cherchée) de f(x).

Et là, il affirme "gratos" (i.e. sans preuves)... un truc faux comme le montre l'exemple de g(x)=sin(x)+sin(50x) [=> T1=2pi] , h(x)=-sin(x) [=> T2=2pi] qui donne f(x)=sin(50x) [T=2pi/50 n'est pas multiple de T1=T2] qui ne me semble pas un truc "abracadabrant" non rencontrable dans la pratique.

P.S.1 : Pour qu'on ne dise pas que je donne toujours raison à Nightmare, il me semble que la solution proposée par mathelot est tout à fait envisageable en seconde

P.S.2 Pour Titus : O.K., tu n'est peut-être pas de "haut niveau", mais il ne faudrait pas croire que ce que l'on t'enseigne est complètement faux, c'est des fois "un peu simplifié", mais jamais franchement faux (contrairement au fait de penser que la période (si elle existe) d'une somme de fonction ayant comme plus petites périodes T1 et T2 est forcément un multiple de T1 et T2)

[Black Jack]

Si j'ai tout bien compris, ça "preuve" est dand son post #28 éjà, là, je trouve que ça commence pas terrible...
Là, il me semble clair qu'il prend comme hypothèse que le rapport T1/T2 est rationnel.
Et là, il affirme "gratos" (i.e. sans preuves)... un truc faux comme le montre l'exemple de g(x)=sin(x)+sin(50x) [=> T1=2pi] , h(x)=-sin(x) [=> T2=2pi] qui donne f(x)=sin(50x) [T=2pi/50 n'est pas multiple de T1=T2] qui ne me semble pas un truc "abracadabrant" non rencontrable dans la pratique.

P.S.1 : Pour qu'on ne dise pas que je donne toujours raison à Nightmare, il me semble que la solution proposée par mathelot est tout à fait envisageable en seconde

P.S.2 Pour Titus : O.K., tu n'est peut-être pas de "haut niveau", mais il ne faudrait pas croire que ce que l'on t'enseigne est complètement faux, c'est des fois "un peu simplifié", mais jamais franchement faux (contrairement au fait de penser que la période (si elle existe) d'une somme de fonction ayant comme plus petites périodes T1 et T2 est forcément un multiple de T1 et T2)

Au lieu de critiquer, tu ferais beaucoup mieux de donner des réponses acceptables et accessibles au niveau de celui qui a posté la question et c'est très loin d'être le cas dans ce topic.

Mes réponses ne sont pas sans reproches mais la plupart des autres ne valent pas mieux sécartant complètement des notions vues en secondaire.

Il est évident qu'en secondaire on ne fait pas référence à des fonctions periodiques comme celles écrites par Nightmare dans un de ses posts.

:zen:

[Nightmare]

Black Jack > Tu le fais exprès j'espère... Ca fait depuis le 2ème post du topic qu'on ne se préoccupe plus du niveau du posteur et à juste titre car la question a soulevé une question encore plus intéressante de la périodicité d'une somme de fonction, et c'est d'ailleurs cette question - qui n'est pas au niveau du posteur - que tu as toi même traitée (avec une fausse démonstration, et une fausse définition). Maintenant si tu as décidé de faire l'entêté qui comprend rien, j'arrête ici cette discussion, qui au départ été intéressante, et dont TU a baissé le niveau...

[Nightmare]

Il est évident qu'en secondaire on ne fait pas référence à des fonctions periodiques comme celles écrites par Nightmare dans un de ses posts.

:zen:

Il est évident qu'au lycée on ne parle pas non plus de fonction continue dérivable nulle part, c'est pas pour autant qu'on a le droit de dire dans un exercice de terminale qu'une fonction continue est dérivable... Tu te rends compte de ce que tu dis franchement? J'espère que tu n'enseignes pas.

[Ben314]

Au lieu de critiquer, tu ferais beaucoup mieux de donner des réponses acceptables et accessibles au niveau de celui qui a posté la question et c'est très loin d'être le cas dans ce topic.

où ais-je donné une réponse non acceptable ?
De plus, il me semble qu'au moment ou j'ai commencé à intervenir une réponse parfaitement acceptable avait déjà été donnée (par mathelot)

Mes réponses ne sont pas sans reproches....

Effectivement, ce que tu affirme à la fin de ton post #28 est clairement faux.

...mais la plupart des autres ne valent pas mieux sécartant complètement des notions vues en secondaire.

Même en secondaire, tu ne trouvera nulle part dire qu'une fonction est T périodique signife que T est LA plus petite période, pas plus que dans un quelconque domaine industriel, même si c'est une TRES GRANDE multinationnale (en plus, je vois pas trop le rapport : plus les multinationales sont grandes, plus ils racontent de connerie ?).
De plus, tout les intervenant qui on utilisé de "l'artillerie lourde" ne l'on fait qu'aprés que tu ait affirmé comme une "trivialité" que LA (ou UNE) période d'une somme de deux fonctions ne pouvait être que le ppcm des périodes et dans le but de TE faire comprendre que avec "LA", c'est faux et que avec "UNE", ce n'est pas du tout une "trivialité" (en résumé, quand on cherche le baton pour se faire battre, ben faut pas s'étonner si on le trouve)

Il est évident qu'en secondaire on ne fait pas référence à des fonctions periodiques comme celles écrites par Nightmare dans un de ses posts.

Tout à fait d'accord, MAIS
1) Le fait que l'on en parle pas ne signifie pas qu'on affirme aux élèves que de telles fonctions n'existe pas.
2) Il me parrait assez clair que les différents posts de Nightmare à ce sujet t'était destinés et n'étaient pas destinés à Titux (de même que la plupart des posts de doraki, ffpower et Nightmares etaient clairement des post "entre eux"
)

[Black Jack]

Black Jack > Tu le fais exprès j'espère... Ca fait depuis le 2ème post du topic qu'on ne se préoccupe plus du niveau du posteur et à juste titre car la question a soulevé une question encore plus intéressante de la périodicité d'une somme de fonction, et c'est d'ailleurs cette question - qui n'est pas au niveau du posteur - que tu as toi même traitée (avec une fausse démonstration, et une fausse définition). Maintenant si tu as décidé de faire l'entêté qui comprend rien, j'arrête ici cette discussion, qui au départ été intéressante, et dont TU a baissé le niveau...

Le forum est, me semblait-il, d'abord et avant tout destiné à venir en aide à ceux qui posent une question.
Si le topic est jugé pas à la portée de la question posée (et pourtant elle a certainement été donnée au cours du poseur de question), alors il serait avisé d'ouvrir un autre topic sur un sujet analogue mais réservé à un soit-disant plus haut niveau.

C'est la décence même et le respect envers le poseur de question que d'éviter de polluer son topic par toutes sortes de considérations qu'il ne peut pas comprendre et qui ne font que de le faire patauger encore plus.

:zen: