Paradoxe oblige

[Doraki]

Bonjour,

Le théorème de Gödel n'échappe pas au paradoxe de Russell.
Posons :

1) Nous pouvons démontrer tout ce qu'on veut.
Donc, nous pouvons démontrer aussi :
2) Que nous ne pouvons démontrer tout ce qu'on veut.
Et, si nous ne pouvons démontrer tout ce qu'on veut c'est que , par définition, nous pouvons démontrer tout ce qu'on veut.
Contradiction... Le théorème de Gödel est faux, ou plus exactement pas absolument vrai.
Il en est de même pour tous les théorèmes. C'est la raison pour laquelle nous pouvons toujours imaginer une théorie radicalement opposée à la théorie admise, et tout aussi cohérente.

Ca veut dire quoi "tout ce qu'on veut" ?
Ca veut dire quoi "démontrer" ?
C'est par définition de quoi que tu dis que 2) implique 1) ?

[vincentroumezy]

Les Théorèmes de Gödel sont absolument vrais, puisque démontrés de manière valide par leur auteur.

[Doraki]

Donc tu supposes qu'on peut démontrer "1+1=12" et tu en conclues que le théorème de Godel est faux ?

[Judoboy]

Tout ceci n'a aucun sens !? Enfin en effet si tu construis une théorie inconsistante tout sera à la fois vrai et faux, mais ça n'a que peu d'intérêt.

[Dlzlogic]

Bonjour archiM,
Je me demande si vous ne faites pas un amalgame entre la notion "démontrer" qui est une notion générale, utilisée dans des quantités de domaines, en autres en mathématique, et le principe mathématique de la démonstration mathématique qui sous-entend des notions connues, un environnement défini pour aboutir à une conclusion précise.

[Judoboy]

Je suppose en effet que l'on peut démontrer toute proposition, sinon il est impossible de démontrer que "nous ne pouvons démontrer toute proposition"

Je crois que tu fais une grosse confusion entre "il existe" et "quelque soit", ou alors j'ai pas compris ton message.

[Nightmare]

Dans ton exemple avec P, tu touches à ce qu'il s'appelle l'auto-référence et qui conduit effectivement à des paradoxes.

En maths, et pour justement éviter ces paradoxes, on ne se permet pas de définir quelque chose en l'utilisant dans la définition. Si tu veux définir une proposition P, tu ne peux pas utiliser P dans ta proposition, car c'est un objet encore inconnu, puisqu'on est en train de le définir.

Sinon, il faut quand même insister sur ce que dit Dlzlogic, à savoir qu'en science, on ne démontre pas à partir de rien, mais d'axiomes et règles d'inférences, et ces choses là, on ne les démontre pas, ou alors à partir d'un système d'axiome plus fins etc.

Il y aura toujours des maths des choses qu'on admet et des choses qu'on démontre à partir de ce qu'on admet. Une fois ceci dit, il est alors clair qu'on ne peut pas "démontrer tout ce qu'on veut" ou au contraire qu'on peut démontrer tout ce qu'on veut, en considérant "tout ce qu'on veut" comme axiomes.

Les mathématiques sont permissives, et il n'est pas interdit de considérer vrai quelque chose qui est faux dans un système axiomatique "proche du réel".

En fait, plus j'avance dans mes propos, et plus je me rends compte que je ne sais pas trop là où tu veux en venir archiM... Qu'est-ce qui te dérange exactement dans les écrits de Gödel?

[vincentroumezy]

En maths, et pour justement éviter ces paradoxes, on ne se permet pas de définir quelque chose en l'utilisant dans la définition. Si tu veux définir une proposition P, tu ne peux pas utiliser P dans ta proposition, car c'est un objet encore inconnu, puisqu'on est en train de le définir.
?

mais définir les ensembles par les propriétés qu'ils vérifient, ça ne rentre pas dans cette catégorie ?

[Nightmare]

Tant que dans ta définition d'un ensemble, tu ne parles pas d'ensemble, c'est bon. C'est le cas dans ZF.

[vincentroumezy]

D'accord, merci !

[Nightmare]

Du coup, je vois encore moins là où tu veux en venir dans ce topic et je ne vois pas où il y aurait un paradoxe de démontrabilité.

Comme je l'ai dit, en maths, on fait ce qu'on veut, à partir du moment où ce qu'on fait corrobore notre système axiomatique, mais comme nous sommes libre de choisir ce dernier, nous avons donc le choix d'en adopter un qui justifiera ce que l'on veut faire, quoi que ce soit.

[Nightmare]

Le sujet du topic était donc d'admettre qu'il existe des paradoxes en mathématiques? Si oui, ça méritait surement pas une telle discussion...

Ce qui est dommage c'est de voir que tu n'essayes en aucun cas de clarifier tes propos, ce qui est pourtant l'essentiel quand on veut exposer ses réflexions aux autres.