voilà une énigme marrante à vous transmettre...
on considère l'ensemble des nombres entiers qui peuvent être définis sans ambiguïté avec une séquence de moins de 81 lettres (par exemple "le premier entier non nul" 1; "le 5ième multiple de 11" : 55 ; "le 5ième nombre strictement en dessous de 100" : 95; mais aussi "soixante-sept", "trente-six"...vous aurez compris)
on note H cet ensemble... comme il y a un nombre fini de lettres, il y a un nombre fini de séquences de 81 lettres, et donc H est fini... c'est une partie finie de N, il existe un max, on le note n.
n+1 définit par "n plus 1" appartient ainsi à H, ce qui contredit le fait que n est max !!!!
Paradoxe?
32 messages
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par mystic » 22 Avr 2006, 22:34
sauf que ton "n" ne défini pas sans ambiguité un nombre (en dehors du contexte si je dis "le 3eme nombre premier" tout le monde en deduit que c'est 5 (enfin peut etre pas tt le monde mais bon....) si je dis "n" alors la par contre personne ne peut dire quel est ce nombre....
par Joch » 23 Avr 2006, 12:20
mais non, mais tu prends n parmi les éléments de H, donc n était précédemment définis par une phrase de moins de 81 lettres...
par mystic » 23 Avr 2006, 12:30
oui mais tu fais une hypothese de recurrence la ou on ne peut pas en faire. avec ton hypothese tous les entiers appartiennent à H (zero appartient a H et par recurrence...).
le probleme alors, c'est que n ne definit pas un nombre sans ambiguité : il est similaire au n d'une hypothese de recurrence, ce qui fait qu'il peut designer tous les entiers.
le probleme alors, c'est que n ne definit pas un nombre sans ambiguité : il est similaire au n d'une hypothese de recurrence, ce qui fait qu'il peut designer tous les entiers.
par Joch » 23 Avr 2006, 12:39
non, dans ton raisonnement effectivement il y aurait une ambiguïté du fait de la récurrence, mais je n'est pas ce problème simplement parce que je ne fais pas de récurrence... il n'y a pas de récurrence, je prends juste le maximum de H qui existe, et qu'on pourrait trouver concrètement si on calculait les...20^(81) phrases possibles; il est fixé et ne tient donc pas lieu de variable, comme tu dis, d'hypothèse de récurrence.
par mystic » 23 Avr 2006, 12:45
oui mais dans ce cas tu peux aussi dire qu'a la sequence "fiugqdfhvp" tu associes le nombre 145416714671878316456146718654615719 qui n'est pas dans H (j'en sais rien, l'important c'est de prendre un nombre qui n'est pas de dedans) et donc du coup ce nombre se retrouve dans H. pour autant est-ce qu'on peut dire que "fiugqdfhvp" désigne sans ambiguité un nombre ? de plus, tu peux toujours associer cette sequence sucessivement a tous les nombres, donc ils appartiennent tous à H (puisqu'ils auraient alors tous été désignés par une sequence de moins de 81 lettres).
par Joch » 23 Avr 2006, 12:54
si tu veux, tu associes "fiugqdfhvp" à 145416714671878316456146718654615719, mais tu le fais avant de trouver les éléments de H; ça pose pas de problème, mais ça ne peut désigner que ce nombre là, sinon, il y a "ambiguïté"
par mystic » 23 Avr 2006, 13:50
oui mais alors tu peux associer chaque sequence à un nombre, de telle sorte que toutes celles designant les plus grands elements de H aient 81 lettres. dans ce cas n peut designer un autre element de H beaucoup plus petit, le plus grand element se note avec une sequence de 81 lettres et tu ne peux plus dire ce "grand element plus un" appartient à H, et comme tu ne peux donc rien faire sur ce plus grand element pour le rendre encore plus grand, H est fini...et le seul ensemble qui soit fini et infini est l'ensemble vide....donc H est l'ensemble vide...mais alors l'ecriture des nombres n'existe pas ??? :briques: :help: :marteau: :error: :petard2: :beer: :mur:
non plus serieusement il y a un probleme de raisonnement quelque part, et perso je pense que c'est le fait de designer le plus grand element par n....enfin c'est vrai que c'est difficile de trouver un argument vraiment indiscutable pour le prouver...
non plus serieusement il y a un probleme de raisonnement quelque part, et perso je pense que c'est le fait de designer le plus grand element par n....enfin c'est vrai que c'est difficile de trouver un argument vraiment indiscutable pour le prouver...
par Patastronch » 23 Avr 2006, 23:27
n+1 définit par "n plus 1" appartient ainsi à H, ce qui contredit le fait que n est max !!!!
de toute facon "n plus 1" etait deja dans H au début, donc n n'etait déjà pas le Max de H.
Donner le max de H avant de définir H comme tu le fais ici est un non sens( ton "n plus un" signifie "max de H plus un").
ensuite si tu considere que n n'est pas une constante mais le nom d'une variable, alors en ennoncant que n est le max tu cré l'égalité :
n>="n plus un"
n>=n+1
0>=1
Ce qui est bien entendu faux, tu ne peux donc pas choisir n comme max, ou alors ton n doit indépendant de celui de "n plus un". D'autant plus que si n est une variable alors "n plus un" ne définit pas un nombre.
Pour résumer : l'erreur est pour ma part dans le fait que ton Max de H est définit avant H (du au lien entre n et ton "n plus un")
de toute facon "n plus 1" etait deja dans H au début, donc n n'etait déjà pas le Max de H.
Donner le max de H avant de définir H comme tu le fais ici est un non sens( ton "n plus un" signifie "max de H plus un").
ensuite si tu considere que n n'est pas une constante mais le nom d'une variable, alors en ennoncant que n est le max tu cré l'égalité :
n>="n plus un"
n>=n+1
0>=1
Ce qui est bien entendu faux, tu ne peux donc pas choisir n comme max, ou alors ton n doit indépendant de celui de "n plus un". D'autant plus que si n est une variable alors "n plus un" ne définit pas un nombre.
Pour résumer : l'erreur est pour ma part dans le fait que ton Max de H est définit avant H (du au lien entre n et ton "n plus un")
par yos » 06 Mai 2006, 21:19
Patastronch a écrit:Donner le max de H avant de définir H comme tu le fais ici est un non sens( ton "n plus un" signifie "max de H plus un").
Ben non! Il a définit H , il a prouvé que c'est un ensemble fini, puis il a appelé n son plus grand élément. Ta critique m'échappe.
par Alpha » 07 Mai 2006, 09:01
Pour moi il n'y a pas de paradoxe.
On est tous d'accord sur le fait que cet ensemble H est fini. C'est une partie de N, il admet un plus grand élément, cela aussi est incontestable. Il admet donc un plus grand élément.
Sauf que maintenant, on n'a pas le droit de le noter n, cet élément. Car cela revient à définir un nouveau caractère qui ne faisait pas partie des caractères avec lesquels on construsait l'ensemble. Il y avait bien un n, mais il désignait uniquement la lettre constructrice n. Si l'on note n le maximum de H et qu'on le considère en tant que maximum, et puis qu'on s'en sert comme constructeur de l'ensemble en tant que nombre, on fausse complètement le jeu, puisqu'on rajoute un nouveau caractère. Si l'on rajoute indéfiniment des caractères, alors H est infini, car le nombre de caractères constructeurs l'est.
Je réexplique :
situation initiale : un nombre m de caractères disponibles, que l'on peut organiser comme on veut pour obtenir un certain nombre de suites différentes à 81 éléments ou moins, pourvu qu'elles désignent un nombre. L'ensemble H a bien sûr un maximum que l'on peut noter n, mais qui n'appartient pas aux m caractères diponibles en tant que maximum de H, mais seulement en tant que lettre.
nouvelle situation : le rajout de n parmi les cractères en tant que maximum de H fait qu'il y a maintenant m+1 caractère, l'ensemble H n'est plus le même, il a beaucoup plus d'éléments.
Il n'y a donc pas de paradoxe, puisque H a été modifié.
En revanche, on a prouvé que tous les mots qui, avec les caractères de construction de H, pouvaient désigner n, avaient au moins 81-7 +1 = 75 caractères pour les construire. En effet, notons n le maximum de H, et notons "n" une de ses écritures à partir des constructeurs de H. Alors "n" plus 1 n'appartient pas à H par définition de n. Pourtant il est bien fabriqué à partir de constructeurs de H. C'est donc qu'il contient plus de 81 constructeurs, ou caractères.
Donc nombre de caractères ( "n" plus 1) > 81
or " plus 1" a 7 caractères, donc nombre de caractère ( "n" ) > 75.
J'espère ne pas avoir dit de grosse bêtise, mais ça m'a l'air clair.
Si c'est le cas, j'espère qu'on ne m'en tiendra pas trop rigueur!
Cordialement, Alpha
On est tous d'accord sur le fait que cet ensemble H est fini. C'est une partie de N, il admet un plus grand élément, cela aussi est incontestable. Il admet donc un plus grand élément.
Sauf que maintenant, on n'a pas le droit de le noter n, cet élément. Car cela revient à définir un nouveau caractère qui ne faisait pas partie des caractères avec lesquels on construsait l'ensemble. Il y avait bien un n, mais il désignait uniquement la lettre constructrice n. Si l'on note n le maximum de H et qu'on le considère en tant que maximum, et puis qu'on s'en sert comme constructeur de l'ensemble en tant que nombre, on fausse complètement le jeu, puisqu'on rajoute un nouveau caractère. Si l'on rajoute indéfiniment des caractères, alors H est infini, car le nombre de caractères constructeurs l'est.
Je réexplique :
situation initiale : un nombre m de caractères disponibles, que l'on peut organiser comme on veut pour obtenir un certain nombre de suites différentes à 81 éléments ou moins, pourvu qu'elles désignent un nombre. L'ensemble H a bien sûr un maximum que l'on peut noter n, mais qui n'appartient pas aux m caractères diponibles en tant que maximum de H, mais seulement en tant que lettre.
nouvelle situation : le rajout de n parmi les cractères en tant que maximum de H fait qu'il y a maintenant m+1 caractère, l'ensemble H n'est plus le même, il a beaucoup plus d'éléments.
Il n'y a donc pas de paradoxe, puisque H a été modifié.
En revanche, on a prouvé que tous les mots qui, avec les caractères de construction de H, pouvaient désigner n, avaient au moins 81-7 +1 = 75 caractères pour les construire. En effet, notons n le maximum de H, et notons "n" une de ses écritures à partir des constructeurs de H. Alors "n" plus 1 n'appartient pas à H par définition de n. Pourtant il est bien fabriqué à partir de constructeurs de H. C'est donc qu'il contient plus de 81 constructeurs, ou caractères.
Donc nombre de caractères ( "n" plus 1) > 81
or " plus 1" a 7 caractères, donc nombre de caractère ( "n" ) > 75.
J'espère ne pas avoir dit de grosse bêtise, mais ça m'a l'air clair.
Si c'est le cas, j'espère qu'on ne m'en tiendra pas trop rigueur!
Cordialement, Alpha
par Quidam » 07 Mai 2006, 11:06
Et que pensez-vous de n plus deux ? :ptdr:
Bon ! Carton rouge ! Je me retire...
Bon ! Carton rouge ! Je me retire...
par Joch » 07 Mai 2006, 11:36
oui bien vu, l'idée est dans le fait qu'un nombre qui n'appartient pas au départ à H, en fait finalement partie, après seulement la définition de H
A noter que vu que ça a l'air de poser des problèmes que je note n le max de H, je peux noter n l'entier "maximum des entiers qui s'écrivent à partir d'une phrase de moins de 81 caractères plus 1", ce qui révèle plus clairement la source du paradoxe...
A noter que vu que ça a l'air de poser des problèmes que je note n le max de H, je peux noter n l'entier "maximum des entiers qui s'écrivent à partir d'une phrase de moins de 81 caractères plus 1", ce qui révèle plus clairement la source du paradoxe...
par Alpha » 07 Mai 2006, 11:54
Oui, j'ai depuis réfléchi à une explication encore plus claire, mais attention, elle fait appel à la notion d'automate et de langage.
Considérons un automate infini déterministe.
L'ensemble de ses états est l'ensemble des entiers naturels. Son alphabet A est constitué de toutes les lettres ou caractères autorisés pour construire H. Le langage L reconnu par l'automate est l'ensemble des mots sur A ayant moins de 81 lettres (moins au sens large). Cet automate a donc un seul état de départ, et ses états terminaux (ou "finaux") sont les états que l'on peut atteindre par la lecture d'un mot de L. Ces états terminaux correspondent exactement aux éléments de H. Cet automate est déterministe, car chaque mot définit un unique nombre.
Soit n le maximum de H. Il est donc un état final de l'automate, donc il existe au moins un mot de L, que l'on notera "n" (par exemple "n" = un plus deux plus trois pour n=6) tel qu'on ait :
i ----"n"------->n (on passe de l'état i à l'état n par la lecture de "n").
Maintenant, il est clair, par la signification de 'plus un', que la lecture du mot 'plus un' fait passer de tout état k à un état k+1 (on identifie les états et leurs étiquettes dans N).
Ainsi, on a dans l'automate les transitions suivantes :
i----"n"-------->n------'plus un'------> n+1
Mais n+1 ne peut pas être un état final, puisque par définition de L, n+1 n'est pas reconnu, car plus grand que n. Cela signifie que ' "n" plus un' n'appartient pas à L, donc que le nombre de lettres de "n" est supérieur à 75.
Maintenant, si on considère que n fait partie de l'alphabet et représente aussi le nombre n, on modifie l'alphabet, donc l'automate n'est plus le même, donc H est différent. Notons, pour clarifier les choses, n1 la lettre du nouvel alphabet qui signifie n. On a alors :
i------n1------>n, donc on passe à l'état n par la lecture d'une seule lettre... On voit bien qu'on est dans 2 situations totalement différentes.
Deux alphabets différents, deux langages reconnus différents, deux ensemble d'états finaux différents, deux automates différents, deux ensembles H différents...
Considérons un automate infini déterministe.
L'ensemble de ses états est l'ensemble des entiers naturels. Son alphabet A est constitué de toutes les lettres ou caractères autorisés pour construire H. Le langage L reconnu par l'automate est l'ensemble des mots sur A ayant moins de 81 lettres (moins au sens large). Cet automate a donc un seul état de départ, et ses états terminaux (ou "finaux") sont les états que l'on peut atteindre par la lecture d'un mot de L. Ces états terminaux correspondent exactement aux éléments de H. Cet automate est déterministe, car chaque mot définit un unique nombre.
Soit n le maximum de H. Il est donc un état final de l'automate, donc il existe au moins un mot de L, que l'on notera "n" (par exemple "n" = un plus deux plus trois pour n=6) tel qu'on ait :
i ----"n"------->n (on passe de l'état i à l'état n par la lecture de "n").
Maintenant, il est clair, par la signification de 'plus un', que la lecture du mot 'plus un' fait passer de tout état k à un état k+1 (on identifie les états et leurs étiquettes dans N).
Ainsi, on a dans l'automate les transitions suivantes :
i----"n"-------->n------'plus un'------> n+1
Mais n+1 ne peut pas être un état final, puisque par définition de L, n+1 n'est pas reconnu, car plus grand que n. Cela signifie que ' "n" plus un' n'appartient pas à L, donc que le nombre de lettres de "n" est supérieur à 75.
Maintenant, si on considère que n fait partie de l'alphabet et représente aussi le nombre n, on modifie l'alphabet, donc l'automate n'est plus le même, donc H est différent. Notons, pour clarifier les choses, n1 la lettre du nouvel alphabet qui signifie n. On a alors :
i------n1------>n, donc on passe à l'état n par la lecture d'une seule lettre... On voit bien qu'on est dans 2 situations totalement différentes.
Deux alphabets différents, deux langages reconnus différents, deux ensemble d'états finaux différents, deux automates différents, deux ensembles H différents...
par yos » 07 Mai 2006, 15:39
J'ai pas tout analysé ce qu'a dit alpha. Le premier message ne m'a pas vraiment convaincu. Je regarderai de plus près.
J'ai plus l'impression que le paradoxe provient de la définition ambiguë de l'ensemble H. Je dirais que tout est dans l'expression "nombre qu'on peut définir sans ambiguité" , expression qui à mon avis n'a pas de sens.
Ca fait penser aux paradoxes de la théorie des ensembles dés qu'on considère l'ensemble de tous les ensembles par exemple.
J'ai plus l'impression que le paradoxe provient de la définition ambiguë de l'ensemble H. Je dirais que tout est dans l'expression "nombre qu'on peut définir sans ambiguité" , expression qui à mon avis n'a pas de sens.
Ca fait penser aux paradoxes de la théorie des ensembles dés qu'on considère l'ensemble de tous les ensembles par exemple.
par Alpha » 07 Mai 2006, 17:54
yos a écrit: Je dirais que tout est dans l'expression "nombre qu'on peut définir sans ambiguité"
Pour moi, il est en tout cas évident qu'il y a un problème dans le fait qu'au moment où on construit H, n désigne une lettre de l'alphabet, rien de plus, et qu'ensuite on note n le maximum, puis qu'on fait comme si le n non plus comme lettre mais comme maximum faisait partie de l'alphabet. H est d'abord construit à partir d'un alphabet de contenant pas n (je parle du n qui représente la maximum et non la lettre n), puis ensuite on fait comme si n lui appartenait. Il y a là, incontestablement, une grosse erreur de raisonnement. Et j'ai montré que ce tour de passe passe conduisait à 2 ensembles H différents.
par yos » 07 Mai 2006, 19:39
C'est pas une bonne idée de l'appeler n.
Considérons :"le plus grand élément de H plus un". Cette phrase définit bien un entier sans ambiguité, qui appartient à H (car défini avec moins de 81 caractères), et qui n'appartient pas à H (car > à tout élément de H).
Je lirai ton histoire d'automate, domaine que je n'ai jamais rencontré, et peut-être que je changerai d'avis.
Considérons :"le plus grand élément de H plus un". Cette phrase définit bien un entier sans ambiguité, qui appartient à H (car défini avec moins de 81 caractères), et qui n'appartient pas à H (car > à tout élément de H).
Je lirai ton histoire d'automate, domaine que je n'ai jamais rencontré, et peut-être que je changerai d'avis.
par Alpha » 07 Mai 2006, 20:50
Le fait que je l'appelle n ou que je l'appelle comme tu l'as appelé n'a pas d'incidence sur la validité de ce que j'ai dit. Quand j'ai écrit "n", j'ai désigné par exemple 'le plus grand élément de H'. En revanche, quand j'ai écrit n, j'ai désigné l'élement de H.
Ceci dit j'y ai un peu repensé, et je ne suis pas sûr d'avoir saisi tout ce qui fait le "paradoxe"... Je me trompe peut-être, auquel cas je serai ravi que vous m'ôtiez de l'erreur.
A+
Ceci dit j'y ai un peu repensé, et je ne suis pas sûr d'avoir saisi tout ce qui fait le "paradoxe"... Je me trompe peut-être, auquel cas je serai ravi que vous m'ôtiez de l'erreur.
A+
par chulzi » 08 Mai 2006, 17:43
hors sujet
moi je pense que cet ensemble est tout bon infini.
de plus il faut faire trés attention à la recurence.
moi je pense que cet ensemble est tout bon infini.
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