par Alpha » 07 Mai 2006, 10:01
Pour moi il n'y a pas de paradoxe.
On est tous d'accord sur le fait que cet ensemble H est fini. C'est une partie de N, il admet un plus grand élément, cela aussi est incontestable. Il admet donc un plus grand élément.
Sauf que maintenant, on n'a pas le droit de le noter n, cet élément. Car cela revient à définir un nouveau caractère qui ne faisait pas partie des caractères avec lesquels on construsait l'ensemble. Il y avait bien un n, mais il désignait uniquement la lettre constructrice n. Si l'on note n le maximum de H et qu'on le considère en tant que maximum, et puis qu'on s'en sert comme constructeur de l'ensemble en tant que nombre, on fausse complètement le jeu, puisqu'on rajoute un nouveau caractère. Si l'on rajoute indéfiniment des caractères, alors H est infini, car le nombre de caractères constructeurs l'est.
Je réexplique :
situation initiale : un nombre m de caractères disponibles, que l'on peut organiser comme on veut pour obtenir un certain nombre de suites différentes à 81 éléments ou moins, pourvu qu'elles désignent un nombre. L'ensemble H a bien sûr un maximum que l'on peut noter n, mais qui n'appartient pas aux m caractères diponibles en tant que maximum de H, mais seulement en tant que lettre.
nouvelle situation : le rajout de n parmi les cractères en tant que maximum de H fait qu'il y a maintenant m+1 caractère, l'ensemble H n'est plus le même, il a beaucoup plus d'éléments.
Il n'y a donc pas de paradoxe, puisque H a été modifié.
En revanche, on a prouvé que tous les mots qui, avec les caractères de construction de H, pouvaient désigner n, avaient au moins 81-7 +1 = 75 caractères pour les construire. En effet, notons n le maximum de H, et notons "n" une de ses écritures à partir des constructeurs de H. Alors "n" plus 1 n'appartient pas à H par définition de n. Pourtant il est bien fabriqué à partir de constructeurs de H. C'est donc qu'il contient plus de 81 constructeurs, ou caractères.
Donc nombre de caractères ( "n" plus 1) > 81
or " plus 1" a 7 caractères, donc nombre de caractère ( "n" ) > 75.
J'espère ne pas avoir dit de grosse bêtise, mais ça m'a l'air clair.
Si c'est le cas, j'espère qu'on ne m'en tiendra pas trop rigueur!
Cordialement, Alpha