[Reflexion] Paradoxe du Prisonnier

[EdDeline]

c'est diffusé sur rtl-tvi le vendredi a 20h25 si tu veux ;), c'est comme les experts mais au lieu de sciences, c'est les maths :D

[buzard]

bonjour,

classique comme paradoxe, seulement il n'y a rien qui permette de conclure à ce que vous dites.

la probabilité ne grimpe pas à 2/3 s'il change de porte.

avec l'information d'une mauvaise porte, on se retrouve face à choix entre deux options.

le prisionnier à donc bien 1/2 de trouver la bonne porte.

et ce que l'on se place dans le cas particulier (choix : 2, éliminé : 1), ou dans le cas général d'un choix quelconque, avec élimination par le geolier d'une des autres portes.

Dans votre décompte des possibilités vous omettez sans doute, la symétrie lorsque le geolier donne l'information.
Il élimine en effet une porte, mais il aurais tout autant pu éliminer l'autre (possibilité que vous ne comptez pas.

si vous faite du calcul conditionnelle, il faut conditionner tout les évennement et pas seulement ceux qui nous arrange.

voila un decompte exhaustif



1 pour liberté, 0 pour mort
en colonne : les choix du prisionnier
en lignes : la porte menant à la liberté, et la porte éliminé par le geolier


remarque 1/2 c'est toujours mieux que 1/3

[Patastronch]

Tu confonds stratégie et choix.

Il n'ya pas de probabilité dans une stratégie vu que le choix est fait a l'avance. Donc une fois la porte éliminé, on applique la stratégie décidée (changer ou pas de porte).

Je me répete mais bon :

Stratégie 1 : Ne pas changer de porte.
1/ Si je choisis la bonne porte (1 chance sur 3), la porte éliminée sera une des deux mauvaises, je ne change pas de choix et je gagne.
2/ Si je choisis un des 2 mauvaises portes (2 chances sur 3), la porte éliminée sera la seconde mauvaise, je ne change pas de choix et je perd.

Conclusion avec la stratégie 1 : 1/3 de gagner, 2/3 de perdre.

Stratégie 2: Changer de porte.
1/ Si je choisis la bonne porte (1 chance sur 3), la porte éliminée sera une des deux mauvaises, je change deporte et je perd.
2/ Si je choisis un des 2 mauvaises portes (2 chances sur 3), la porte éliminée sera la seconde mauvaise, je change de porte et je gagne

Conclusion avec la stratégie 2 : 2/3 de gagner, 1/3 de perdre.


Conclusion finale : La stratégie 2 domine la stratégie 1.

Au passage ce n'est plus considéré comme un paradoxe puisque résolu depuis pas mal de temps deja.

[Flodelarab]

J'ai lu des dizaines d'articles sur ce probleme effectivement classique et aucun ne m'a convaincu. Je suis d'accord avec Buzzard: Il est trop facile d'ignorer délibérément des informations.

Je vous cite l'introduction d'un de ces articles:

J'ai 2 enfants dont l'un est un garçon. Quelle est la probabilité pour que l'autre soit une fille ? 1/ 2 ou 2/ 3 ?

- 2/ 3, bien sûr, car il y a 2 cas favorables ( Garçon - Fille et Fille - Garçon) pour 3 cas possibles ( Garçon - Fille, Fille - Garçon et Garçon - Garçon) ;

- 1/ 2, si j'avais précisé que l'aîné était un garçon ; 1 cas favorable ( GF ) pour 2 cas possibles ( GF et GG )

Voila typiquement un cas où le manque de rigueur amène a dire une anerie; L'auteur introduit une notion de position dans la fraterie, qui n'a rien a voir avec la question initiale.


Je vais même plus loin dans la provocation:
La probabilité de faire 6 avec un dé à 6 faces est 1/2
Ben oui!
2 cas totaux: "Faire 6" et "Ne pas faire 6"
1 cas favorable: "Faire 6"
ça fait bien 1/2 ....


Pour moi, ceci prouve l'immense complexité des probabilités. Car sur cette exemple simple, on sait que les fréquences que nous obtiendrons ne vérifieront pas la théorie maladroitement calculée.
Mais sur un exemple plus complexe, qui peut nous assuré que les "cas" choisi sont équiprobables ?...


Il est trop facile d'ignorer les informations qui s'ajoutent. Si on change l'énoncé, on change le résultat.
Au moyen âge, la proba d'arriver à 100 ans était 0 (grosso modo).
Ce n'est plus le cas. Feriez vous fi des progrès de la science aujourd'hui pour calculer l'espérance de vie ?
Non. Bon. Alors ... Prenez en compte la remarque du geolier et considérer bien que la proba de se tromper et de se faire prendre est 1/2. Reprendre les proba d'avant reviens a aller reprendre l'esperance de vie du moyen âge.

ok?

[scelerat]

Ce tableau ne represente rien que des possibilites, pas les probabilites associees. Il y a bien un paradoxe, c'est que la probabilite vaut effectivement 0 ou 1, le prisonnier meurt ou survit, et que des probabilites fractionnaires signifient qu'on imagine de repeter l'experience, ce qui est difficile une fois le prisonnier execute ou echappe...
Appelons A la porte ou se trouve la liberte. Le prisonnier fait initialement le choix A, B, ou C avec une probabilite 1/3 chacun. Le geolier ouvre alors une porte, qui n'est ni la porte A, ni la porte choisie. On a donc {porte choisie, porte ouverte} avec les probabilites :
AB -> 1/6
AC -> 1/6
BC -> 1/3
CB -> 1/3
Si le prisonnier change son choix pour l'autre porte encore fermee, il va en
C -> 1/6
B -> 1/6
A -> 1/3+1/3=2/3

[Patastronch]

Il y a bien un paradoxe, c'est que la probabilite vaut effectivement 0 ou 1, le prisonnier meurt ou survit, et que des probabilites fractionnaires signifient qu'on imagine de repeter l'experience, ce qui est difficile une fois le prisonnier execute ou echappe...

L'ennoncé initiale (issus de la théorie des jeux) n'est pas celui donné par Gnorf au passage mais seulement d'une victoire ou d'une perte ( à la maniere de pierre feuille ciseau, pour lequel on prouve facilement que la stratégie optimale est une stratégie mixte de 1/3 pour chaque choix :p ). L'ennoncé donné par Gnorf est un énnoncé romancé.

[buzard]

Ce tableau ne represente rien que des possibilites, pas les probabilites associees.

Je n'ai jamais dis qu'il s'agissait d'un tableau de probabilité, et au contraire je l'ai introduit comme un décompte en effet j'aurais du ecrire des possibilité.

Je vous laisse le soin de compter le nombre de 0 ou de 1 suivant les proba que vous voulez calculer.

et autre chose :

P(choisir la bonne porte parmis 3) = 1/3

P(choisir la bonne porte parmis 3 sachant que le geolier élimine une des portes) = P(choisir la bonne porte parmis 2) = 1/2

je ne vois pas pourquoi vous ne conditionnez pas ce calcul? D'accord avec l'argument du moyen-age

[buzard]

pour la question de stratégie

garder ou pas la porte choisi au départ sont deux stratégie de même force, aucune ne domine l'autre ni ne domine, la stratégie de choisir aléatoirement parmis les deux portes restante.

La remarque du geolier change le jeu de choisir parmis 3 portes, à choisir parmis 2 portes. Dans la mesure ou il fait la remarque quelque soit le choix du prisonnier.

Là où l'on peut considérer que la stratégie de changer est meilleure, c'est seulement si l'on considère le caractère humanitaire de la remarque du geolier, qui ne l'aurait sûrement pas faites si l'on avait choisi la bonne porte. Mais c'est une hypothèse hors de propos. Et peut-etre est-ce même le contraire, voulant ainsi confondre le prisonnier, afin qu'il s'oriente vers l'achaffaud.

Sur ce point seul le prisionnier est juge. Hors il est prisionnier, donc il n'est pas juge. Et le geolier est-il peut-etre aussi le bourreau.

[scelerat]

P(choisir la bonne porte parmis 3 sachant que le geolier élimine une des portes) = P(choisir la bonne porte parmis 2) = 1/2
je ne vois pas pourquoi vous ne conditionnez pas ce calcul?

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

[Patastronch]

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

J'allais faire la meme remarque

[buzard]

Je ne vois surtout pas pourquoi toi, tu ne conditionnes pas l'information donnee par le geolier.

On ne conditionne pas une information, qui en tant que telle est une vérité par là même toujours vrai.

par contre, on conditionne un évennement à une information.

l'évennement c'est choisir la bonne porte.
l'information c'est la porte désignée par le geolier n'est pas la bonne.

[Patastronch]

On ne conditionne pas une information, qui en tant que telle est une vérité par là même toujours vrai.

par contre, on conditionne un évennement à une information.

l'évennement c'est choisir la bonne porte.
l'information c'est la porte désignée par le geolier n'est pas la bonne.

Non mais le choix de la porte retirée par le géolier est elle conditionnée par le premier choix du prisonnier et du contenu des portes.

Si tu choisis la bonne porte au départ il y a une chance sur 2 qu'il choisisse une des deux portes restantes. Si tu choisis une mauvaise porte au départ le géolier montrera l'autre mauvaise porte avec une proba de 1.

L'information du géolier ne porte pas que sur la porte dévoilée (qui est mauvasie avec une proba de 1 commme tul e dis si bien) mais également sur la porte restante qui est de 2/3 pour qu'elle soit la bonne.

Je choisis la bonne porte au départ (proba de 1/3) :
1/2 qu'il retire la premiere restante, 1/2 qu'il retire la seconde.=> proba de 1 pour que la porte restante soit une mauvaise.

Je choisis une mauvaise porte au départ (proba de 2/3):
Proba de 0 qu'il retire la bonne, proba de 1 qu'il retire la mauvaise => proba de 1 que la porte restante soit bonne.

Si tu conditionnes cette information du géolier tu obtiens qu'il y a1/3 que la porte restante soit mauvaise et 2/3 qu'elle soit bonne=> on a bien 1/3 de gagner si tu garde la meme porte et 2/3 de gagner si tu changes de porte.

[scelerat]

On ne conditionne pas une information, qui en tant que telle est une vérité par là même toujours vrai.

par contre, on conditionne un évennement à une information.

l'évennement c'est choisir la bonne porte.
l'information c'est la porte désignée par le geolier n'est pas la bonne.

Ecoute, je propose que nous jouions a ce jeu. Tu es le geolier, je suis le prisonnier. Comme je ne veux pas risquer ma tete, nous mettrons 1.75 euro derriere l'une des portes, et je miserai un euro. Nous ferons le nombre de parties qu'il faudra pour que tu comprennes que le geolier ne designe pas librement la porte. D'apres toi, je gagne 1.75 euro chaque fois que j'en mise 2, tu es gagnant, tu devrais etre motive !

[TheReveller]

J'ai fait un script Javascript... Je ne suis pas un professionnel de la programmation informatique, mais ça fonctionne. En tout cas, ça fonctionne sur mon ordinateur avec Internet Explorer 6 SP2 en autorisant le contenu. Testez par vous-même, ça donne 33% vs 66% !

Je dois avouer que je ne comprends pas complètement, mais je vais y penser.

http://nightbird.site.voila.fr/portes.htm

Si vous voulez des explications à propos de mon script, ne vous gênez surtout pas.

Bon, voilà ce que j'ai compris de tout ça :

D'abord et avant tout, c'est plus facile de comprendre en faisant des tests en mode «Éliminer toutes les portes sauf deux». Surtout qu'on constate bien évidemment que le mode «Éliminer une seule porte» et «Éliminer toutes les portes sauf deux» reviennent au même lorsqu'il y a trois portes.

Disons que nous avons 20 portes.
L'aide élimine pour nous 18 portes qui sont ni la porte qui mène au paradis ni la porte devant laquelle nous sommes pour qu'il ne reste que deux portes. C'est très important à savoir.
Il reste donc deux portes et par le fait même deux possibilités : Nous sommes devant le paradis et l'autre porte mène en enfer ou nous sommes devant l'enfer et l'autre porte mène au paradis.
En fait, au début, il y a une porte parmi les 20 qui mène au paradis. Vous en convenez donc qu'il n'y a seulement 5% de chances que nous soyons devant la porte qui mène au paradis.
Bref, s'il reste à la fin deux portes dont une qui mène au paradis et qu'il n'y a que 5% de chances que nous soyons devant cette porte, c'est qu'il y a alors 95% de chances que l'autre porte mène au paradis.

Si on en revient à nos trois portes, vous avez peut-être déjà compris où je voulais en venir avec tout ça.
Soit trois portes.
L'aide élimine pour nous une porte qui est ni la porte qui mène au paradis ni la porte devant laquelle nous sommes pour qu'il ne reste que deux portes. C'est très important à savoir.
Il reste donc deux portes et par le fait même deux possibilités : Nous sommes devant le paradis et l'autre porte mène en enfer ou nous sommes devant l'enfer et l'autre porte mène au paradis.
En fait, au début, il y a une porte parmi les trois qui mène au paradis. Vous en convenez donc qu'il n'y seulement 33,333% de chances que nous soyons devant la porte qui mène au paradis.
Bref, s'il reste à la fin deux portes dont une qui mène au paradis et qu'il n'y a que 33,333% de chances que nous soyons devant cette porte, c'est qu'il y a alors 66,666% de chances que l'autre porte mène au paradis.

Cette méthode est valable pour tous les cas en mode «Éliminer toutes les portes sauf deux». L'autre mode, «Éliminer une seule porte», je l'avais fait avant de m'apercevoir que la solution est bien plus simple à comprendre en logique de probabilités grâce au mode «Éliminer toutes les portes sauf deux» puisque les deux modes sont équivalants lorsqu'il n'y a que trois portes.

Sinon, vous pouvez essayer de comprendre ce qui se passe lorsqu'on augmente le nombre de portes en mode «Éliminer une seule porte», mais ce n'est pas là notre problème initial.

Voilà, selon moi le problème est résolu. Je crois que c'est une méthode simple et claire pour comprendre le phénomène. À moins que je me trompe puisque je n'ai jamais fait d'études en probabilités et statistiques, mais je crois que tout mon développement est logique.

J'espère qu'avec le «programme» et mes explications de ce que j'ai compris, j'aurai pu aider un peu. Ce matin je ne comprenais vraiment pas comment cela était possible et ce soir, grâce à cette nouvelle façon de voir le problème, je crois avoir compris.

Je suis prêt à lire vos opinions et vos réfutations à mes propos.

Sinon, vous pouvez essayer de comprendre ce qui se passe lorsqu'on augmente le nombre de portes en mode «Éliminer une seule porte», mais ce n'est pas là notre problème initial.

Ça y est, j'ai tout compris. J'ai finis mes études en maths à un niveau pas très élévé (Dernières choses que j'ai apprises étaient les notions de base de la dérivée et l'intégrale), mais question de logique dans ce genre de problème, je comprends tout maintenant.

En fait, en premier lieu je m'étais trompé dans mon argumentation sur ce topic où on a conclu que c'était 50% / 50%, mais c'est totalement faux !

Soit 20 portes.
Au départ, nous sommes à une porte où il y a 5% de chances d'être la bonne. Les autres portes ont (100%-5%)/(20-1) d'être la bonne. On en élimine une qui n'est ni la bonne, ni la notre. Ces conditions sont cruciales. Il reste donc 19 portes où il y a toujours 5% de chances que la notre soit la bonne, mais maintenant les autres portes ont (100%-5%)/(20-1-1) d'être la bonne. Ainsi de suite jusqu'à ce qui ne reste que deux portes où notre porte a 5% d'être la bonne et l'autre a (100%-5%)/(20-18-1) d'être la bonne.

Si vous ne comprenez pas, essayez mon «programme». Choisissez par exemple 8 portes et le mode «Éliminer une seule porte». Vous avez toujours 1/8 (12,5%) d'être sur la bonne porte tandis que vous avez 14,58% de chances de trouver la bonne en changeant de choix parce qu'en éliminant une porte, les autres portes auront alors (100%-12,5%)/(8-1-1).

En formule mathématique, on a donc :

x = (1 - (1 / n)) / (n - a - 1)
ou
x = (1 - (1 / n)) / (b - 1)

et

y = 1 / n

n : Nombre de portes au total (nombre entier, n >= 2)
a : Nombre de portes éliminées au total (nombre entier, 0 <= a < (n-1))
b : Nombre de portes restantes au total (nombre entier, 1 < b <= n)

x : Probabilités que la bonne ne soit pas la nôtre pour chacune des portes restantes excluant la notre.
y : Probabilités que le bonne porte soit la nôtre.

Bref, dans ce topic : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=22882

Le jeu des 20 boîtes dont une qui contient un million, il y a effectivement 95% de chances de gagner le million si on change de boîte, puisque qui que ce soit qui élimine les boîtes, s'il n'en reste qu'une, c'est qu'il en reste une, point final, les autres sont éliminées. La difficulté de ce jeu n'est pas la dernière boîte, c'est plutôt lorsque le nombre de boîtes restantes diminue et qu'on ne doit pas choisir celle qui a le million.

En effet, au début :

20 boîtes, 5% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.

Ensuite :

19 boîtes, 5,277% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
18 boîtes, 5,588% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
17 boîtes, 5,938% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
16 boîtes, 6,333% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
15 boîtes, 6,786% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
[...]
5 boîtes, 23,75% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
4 boîtes, 31,666% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
3 boîtes, 47,5% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre.
2 boîtes, 95% de chances de se tromper et de tomber directement sur le million, 5% de chances que celle qui contient le million soit la nôtre. (Sauf que dans se cas-ci, on ne se trompe pas, c'est là qu'il faut trouver le million, alors c'est donc 95% de chances de trouver le million que l'on peut maintenant trouver et 5% de chances de se tromper et que le million était dans notre boîte.)

Donc, plus que le jeu avance, moins plus qu'on a de chances de se tromper de boîte. L'étape la plus cruciale est donc lorsqu'il reste seulement trois boîtes et qu'on doit choisir laquelle entre les deux nous élimineront pour qu'il ne reste qu'une seule boîte qui aura donc 95% de chances de contenir le gros lot, puisque lorsqu'il reste trois boîtes, les deux boîtes devant nous on chacune 47,5% de chances de contenir le prix, mais il ne faut pas le découvrir immédiatement.

Voilà, c'est pas mal pour un gars de 18 ans qui n'a jamais fait de mathématiques appronfondies ? Ça m'étonnerait que je me trompe, lorsqu'on simule cela sur le «programme», tout semble confirmer ma théorie. D'ailleurs, c'est grâce à la pratique qu'on comprend mieux la théorie et c'est ce que j'ai fait, j'ai mélangé théorie et pratique.

[lemalinfou]

salut, ce paradoxe est assez connu, d'ailleurs dans la fin d'un épisode de "Numb3rs" notre héros pose le meme probleme pour trouver une voiture parmi 3 choix possible.

[ddy]

Posons le problème:

Cas A:
Il y a 3 portes: 2 menent a l'echafaud, 1 à la liberté
temps T: le prisonnier choisit 1 porte
temps T+1:le jaulier désigne une porte telle que:
a) cette porte mène a l'echafaud
b) cette porte ne soit pas la meme que celle du prisonnier

note: le jaulier peut toujours y parvenir car:
- il sait ce qui se trouve derriere chaque porte
- il connait le choix du prisonnier (car il est antérieur)
- quel que que soit le choix du prisonnier
il reste toujours au moins 1 porte menant a l'echaufaud (et au plus 2)

temps T+2: le prisonnier connait la porte désignée par le jaulier, ainsi que la manière dont le jaulier désigne sa porte et choisit:
1) la porte qu'il avait déja choisie à T
ou
2) l'unique porte differente de son 1er choix et differente de celle du jaulier


Cas B:
Il y a 3 portes: 2 menent a l'echafaud, 1 à la liberté
temps T: le prisonnier choisit 1 porte (élimine une porte en fait) et annonce qu'il ouvrira de toute facon la porte qui n'est pas celle qu'il vient d'éliminer, ni celle qui sera désignée par le jaulier

temps T+1:le jaulier désigne une porte telle que:
a) cette porte mène a l'echafaud
b) cette porte ne soit pas la porte éliminée par le prisonnier

note: le jaulier peut toujours y parvenir car:
- il sait ce qui se trouve derriere chaque porte
- il connait le choix du prisonnier (car il est antérieur)
- quel que que soit le choix du prisonnier
il reste toujours au moins 1 porte menant a l'echaufaud (et au plus 2)

temps T+2: le prisonnier connait la porte désignée par le jaulier et choisit comme annoncé:
- l'unique porte differente de son 1er choix et differente de celle du jaulier


Cas A: cas réaliste; le prisonnier ne veut pas choisir la meme porte que celle du jaulier car il sait qu'elle mène à l'echaffaud, et il ne veut pas mourir
il a donc le choix entre 2 portes dont l'une mene a l'echafaud, et l'autre pas; qu'il fasse 1) ou 2), il a donc 1/2 chance de rester en vie

Cas B: cas surréaliste ou il y a effectivement 2/3 d'éliminer une porte menant à l'echaffaud et de permettre au jaulier d'éliminer la 2ieme porte menant à l'echafaud; donc 2/3 de survivre

Il ne reste plus qu'a connaitre la probabilité de se trouver dans le cas B plutot que dans le cas A (proche de 0 à mon avis ^^)

[fahr451]

ce "paradoxe" a qq décennies d'âge et figure depuis dans tout bon manuel d'initiation aux probas.

voici un exemple également fort connu :
dans un chapeau il y a trois cartes à jouer une a ses deux faces peintes en noire une autre a ses deux faces peintes en rouge la troisième est bicolore rouge/noire.
On tire une carte au hasard la face apparente est rouge quelle est la probabilité pour que la face cachée soit noire ?

[Imod]

Bonjour ,

il y a six possibilités équiprobabes et trois seulement qui font apparaître une face rouge l'autre face est rouge dans deux cas sur trois . La probabilité pour que l'autre soit noire est de 1/3 .



Imod

[MikO]

la probabilité est de 1/2, ceux qui trouvent 2/3 font de 'fausses preuves' en baratinant

[fahr451]

le "problème" imod c est que tu raisonnes correctement sur les faces et non comme bon nombre sur les cartes. :)