Paradoxe pomme de terre

[marcheur]

Bonjour,

Par rapport au paradoxe de la pomme de terre : une pomme de terre est composée de 99 % d'eau et donc 1 % de matière sèche, si on évapore 1 % d'eau (faisant donc non pas 99 % mais 98 %) sur 100 kg de pomme de terre total (eau + matière sèche) on arrive à 50 kg de poids total (eau + matière sèche).
J'ai beau chercher partout sur internet je ne trouve pas d'explication satisfaisante physiquement : toutes les explications ne parlent que de calcul.

Car, puisqu'on a pas à toucher à la matière sèche qui reste identique : toujours 1 kg avant et après évaporation c'est qu'on évapore de l'eau à l'eau donc qu'il reste 98 % d'eau sur 99 kg d'eau et alors comment en arriver à 50 kg puisque dans ce cas ce n'est pas enlever 1 % de plus mais quasiment 50 % ?

[lyceen95]

Tu reformules le problème, et c'est en le reformulant que tu crées l'erreur.

Situation initiale : 100kg de pomme de terre, c'est à dire 1kg de matière sèche et 99kg d'eau.

On enlève une partie de l'eau, de façon à ce que l'eau représente 98% du total.
Toi, tu reformules en disant qu'on enlève 1% d'eau. Et c'est faux.

Dans la situation finale, la matière sèche pèse toujours 1kg. Et la matière sèche représente maintenant 2% du total, au lieu de 1% au départ.
Donc le total pèse 50 fois plus que la matière sèche, il pèse 50kg.

On enlève une partie de l'eau, de façon à ce que l'eau représente 98% du total.
Si on veut reformuler ça, on a le droit de dire : On enlève une partie de l'eau, de façon à ce que la matière sèche représente 2% du total.
Mais c'est à a peu près tout...

Quand il y a des pourcentages, il faut toujours être très vigilent.

Aujourd'hui, en France, 60% des gens ont plus de 35ans. Si demain, ils sont 2 fois plus nombreux, tu vas dire que 120% des gens ont plus de 35 ans ?
Et si demain, ils sont 2 fois moins nombreux, tu vas dire qu'ils sont 30%. Non, faux dans les 2 cas.
Dès qu'on parle de pourcentage, il faut bien penser qu'un pourcentage, c'est le résultat d'un calcul fait à partir de 2 nombres absolus. Et il faut voir comment ces 2 nombres évoluent.

J'ai 100kg de pommes de terre dont 99% d'eau... Symbole %, danger, avant de faire le moindre calcul, je reformule en disant :
J'ai 100kg de pommes de terre dont 99kg d'eau

Je retire de l'eau, et j'ai maintenant 98% d'eau.
Ok , galère, j'ai combien d'eau, et j'ai combien de matière sèche. J'ai toujours autant de matière sèche, 1kg, et cette matière sèche représente 2% du total. Donc le total est de 50kg etc etc

[marcheur]

Merci pour ta réponse mais ta réponse est la même que ce que je vois ailleurs :
Tu dis : Je retire de l'eau, et j'ai maintenant 98% d'eau.

C'est 98 % sur 99 kg d'eau (je veux dire 98 % de 99 kg d'eau ) ?

[lyceen95]

Je retire de l'eau, et j'ai maintenant 98% d'eau.

Je retire de l'eau, et maintenant, l'eau représente 98% de la masse totale.

Il y a une erreur que je n'avais pas relevée, c'est peut-être pour ça que tu n'as pas compris.

L'énoncé normal du paradoxe, c'est celui-ci : (source https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_la_pomme_de_terre )

un agriculteur a 100 kg de pommes de terre. Au début, elles se composent de 99 % d'eau (représentant 99 % du poids total) et donc 1 % de matière sèche (représentant donc 1 % du poids total). Plus tard, en cours du stockage, elles ne se composent plus que de 98 % d'eau. Quel est alors le poids total des pommes de terre ?

Dans ton énoncé, tu n'as pas mis ça, tu as mis un truc totalement différent :

une pomme de terre est composée de 99 % d'eau et donc 1 % de matière sèche, si on évapore 1 % d'eau (faisant donc non pas 99 % mais 98 %)

Si on évapore 1% d'eau, c'est sûr que partant de 100kg, on ne va pas arriver à 50kg.
On a 100kg en tout, on a 99kg d'eau et 1kg de matières sèche, on évapore 1% d'eau. (je préférerais même dire on évapore 1% de l'eau), on évapore donc 0.99Kg d'eau, il reste quoi ? Il reste 100kg-0.99kg = 99.01 kg de Pdt, dont 98.01kg d'eau et 1kg de matières sèche.

Dans l'énoncé, tu as mis entre parenthèse ( faisant donc non pas 99 % mais 98 % ), et c'est faux.
Si je retire 0.99kg d'eau, le pourcentage devient 98.01/99.01, c'est à dire 98.99%

Pour éviter les pièges, quand il y a le symbole pourcentage, il faut toujours compléter par une expression qui commence par de... pour clarifier.

Prenons un exemple simple.
La population de la Bretagne représente 12% de la population française.
Les centenaires bretons représentent 0.5% de la population bretonne.
Est-ce que additionner ou soustraire 12% et 0.5%, ça va donner un truc qui a du sens ?
Non, parce que le dénominateur n'est pas le même. Population bretonne dans un cas, population française dans l'autre.

Si je pars de ceci :
La population de la Normandie représente 11% de la population française.
Les centenaires normands représentent 0.05% de la population française.
Ici, c'est ok,11-0.05=10.95% a un sens : les normands non centenaires représentent 10.95% de la population française.

Quand le dénominateur est le même, on peut additionner ou soustraire les fractions.
Mais dès que le dénominateur n'est pas le même, c'est faux.

[marcheur]

Je comprends mieux mais ce n'est pas encore ça.
Tu n'as pas répondu par oui ou non à ma dernière question : 98% de 99 kg ?
Et tout d'abord (question préalable que je n'ai pas posé) : est-ce que 99 % sur 100 kg c'est bien 99 kg ?

[lyceen95]

Dans le paradoxe (texte tel qu'il est sur le lien wikipedia), on dit :
"Plus tard, en cours du stockage, elles ne se composent plus que de 98 % d'eau."
On ne parle pas d'évaporation... mais c'est ce qui se passe, la quantité de matière sèche n'a pas changé et la quantité d'eau a diminué.
Et donc ce 98% se lit comment : après évaporation d'une partie de l'eau, l'eau restante représente 98% de la masse totale restante.
Dans l'équation qu'on peut écrire, toutes les variables sont relatives à l'instant 'final'. Les données initiales n'interviennent pas du tout.

Si on note E0 et E1 la quantité d'eau au début et à la fin, S0 et S1 la quantité de matière sèche au début et à la fin, cette information s'écrit donc E1=0.98 (E1+S1)

Est-ce que c'est 98% sur 99KG d'eau : Non.
A aucun moment, on n'a ce calcul.
C'est 98% d'un total qu'on nous demande de calculer, et après calcul, il s'avère que c'est 98% de 50kg.

est-ce que 99 % sur 100 kg c'est bien 99 kg ?
Oui.

Mais je répète. Pour avoir l'énoncé du paradoxe, il faut prendre celui sur Wikipédia.
Avec l'énoncé que tu as recopié, il n'y a pas de paradoxe, et la bonne réponse serait 99.01kg.

[marcheur]

est-ce que 99 % sur 100 kg c'est bien 99 kg ?
Oui.

Donc normalement 98 % sur 100 kg c'est 98 kg et non 50 kg.
C'est là où j'ai un problème.

Sur ces 100 kg du départ on a bien juste un kilo de matière sèche ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Lycéen95 essaie désepérément de t'expliquer ce que tu refuses de comprendre : le 98%, ce n'est pas 98% de 100kg, mais 98% du poids restant après disparition d'une partie de l'eau.
Appelons ce poids restant qu'on ne connaît pas. Ce qu'on sait, c'est que 98% de est le poids de l'eau restante, et donc 2% de est le poids de la matière sèche. On suppose que la matière sèche n'a pas disparu, il en reste donc la même quantité qu'au départ, soit 1kg. Que vaut si 2% de vaut 1kg ?
Tu es parti sur une mauvaise lecture et tu t'obstines dans cette mauvaise approche. Fais un "Control-Reset" pour repartir du bon pied !

[lyceen95]

Oui, il faut repartir sur des bases saines.

Je répète. Pour avoir l'énoncé du paradoxe, il faut prendre celui sur Wikipédia.
Avec l'énoncé que tu as recopié, il n'y a pas de paradoxe, et la bonne réponse serait 99.01kg.

Ecris l'énoncé de l'exercice... un énoncé correct. Sans essayer de le résoudre.

Là, tu as un énoncé foireux ( il y a des choses qui se contredisent dans l'énoncé), et tu essaies de calquer le paradoxe de la pomme de terre sur cet énoncé.

[marcheur]

En réalité il n'y a pas tout ce calcul à faire pour arriver au résultat et c'est ce calcul qui embrouille. Il suffit de dire : si sur 100 kg il y 1 % de matière sèche (qui donc correspond à 1 kg), et 99 % d'eau (qui correspond à 99 kg) alors pour 98 % d'eau il y a 2 % de matière sèche.
Donc on a 99/1 = 99 kg d'eau pour la situation de départ et 98/2 = 49 kg d'eau pour la situation d'arrivée.
Déjà nulle part dans les explications on ne parle de 49 kg d'eau, ce qui est important pour une meilleure compréhension.

Mais ce n'est pour autant que je comprends d'un coup ce truc là. Toute proportion gardée (c'est le cas de le dire) c'est un peu comme Cantor disant : ''je le vois mais je n'y crois pas'' bien qu'ici ce serait plutôt ''je le vois et le comprends sans trop savoir comment''.

[lyceen95]

Non, tu ne le comprends pas.
Mais c'est normal, tu refuses d'appliquer les conseils. Tu n'as toujours pas un énoncé correct de l'exercice sous les yeux. Tu as toujours ton énoncé foireux. Tu ne peux pas t'en sortir.

Tu dis : Déjà nulle part dans les explications on ne parle de 49 kg d'eau, ce qui est important pour une meilleure compréhension.
Evidemment, on ne dit pas qu'il y a 49kg d'eau, mais on te donne toutes les billes pour que tu trouves qu'il y a 49kg d'eau. Tu voudrais que l'énoncé demande ; quel est le poids obtenu en additionnant 49 et 1 ?

Enoncé précis :
un agriculteur a 100 kg de pommes de terre. Au début, elles se composent de 99 % d'eau (représentant 99 % du poids total) et donc 1 % de matière sèche (représentant donc 1 % du poids total). Plus tard, en cours du stockage, une partie de l'eau s'est évaporée, elles ne se composent plus que de 98 % d'eau. Quel est alors le poids total des pommes de terre ?

On a des quantités, et des équations. Et on va détailler très précisément toutes les informations.
Notations:
E0= la quantité d'eau au début
S0= la quantité de matière sèche au début.
T0= la masse totale au début
E1= la quantité d'eau à la fin
S1= la quantité de matière sèche à la fin.
T1= la masse totale à la fin

Des notations claires, cohérentes ... pour que ce soit facile.
On a des informations.
T0=100
E0=0.99*T0=99
S0=0.01*T0=1
S1=S0 : la quantité de matière sèche ne bouge pas
S1+E1=T1 : A la fin, comme au début, la masse totale est la somme de l'eau plus la matière sèche
E1=0.98*T1 : A la fin, l'eau représente 98% de la masse totale.

On sait que S1=1 donc :
1+E1=T1
Et E1=0.98*T1
On a 2 équations, et 2 inconnues, on peut résoudre ce système, et trouver E1 et T1.
1+0.98*T1 = T1
1=T1-0.98*T1
1=0.02*T1
Et donc T1=1/0.02=50.
La masse totale à la fin est donc de 50kg
Ce n'est pas de la magie, c'est juste la résolution d'un système très simple d'équations.
MAis il faut être très rigoureux à chaque étape, aussi bien en recopiant l'énoncé qu'en cherchant la solution.

Malheureusement, c'est moi qui ait résolu le système, donc ça ne va pas s'ancrer correctement dans ta mémoire.
Tant pis, j'aurais essayé.

[marcheur]

Ta dernière réponse est du pur calcul et c'est justement cela partout qui ne me fait pas comprendre.
En fait je ne dépasse pas ce qui est dit sur Wiki pour l'intuition habituelle des gens : 98 % c'est 1 % de moins que 99 %.
Je suis plus dans la philo que dans les maths et en fait cela me permets de me rendre compte que les pourcentages, les statistiques et tout ce qui est de l'ordre de la quantité en général est une approche globale des choses du réel et que le réel en tant que tel n'a rien à voir avec du calcul. Les phénomènes se passant dans le réel ne sont pas de l'ordre des chiffres et des nombres en eux-mêmes = je veux dire quelque chose comme : la nature ne compte pas, elle ne fait pas d'opérations mathématiques. Ce sont les humains qui approchent les choses ainsi.
Dans le réel c'est : y a moins d'eau dans des pommes de terre et cela fait une différence de masse, de volume, etc ...

Mais je peux revenir à cela et demander aussi : c'est comme si les pommes de terre en général étaient constituées de 98 % d'eau et qu'on demande sur 100 kg au total combien de kg d'eau cela fait.

[lyceen95]

Tu dis : 98 % c'est 1 % de moins que 99 %.

Tu es plus dans la philo que dans les maths.
Ok, j'accepte, ça ne me pose aucun problème. C'est même une bonne chose.

Alors tu devrais facilement accepter cette règle :
Tous les trucs qu'on peut ajouter ou soustraire , ce sont des unités : 3 pommes + 5 pommes donnent 8 pommes, 5 kilos plus 1 kilo donnent 6 kilos.
Point final.

Les pourcentages sont une invention des mathématiciens qui n'existe pas dans la nature.
Donc va au bout de ta logique.
Additionne des kilos, ou des unités, mais n'additionne JAMAIS des pourcentages.
Dès que tu as une information avec des pourcentages, supprime ces pourcentages, convertis ces pourcentages en unités ""sonnantes et trébuchantes"" (en euros, en kilos, selon le contexte)
Et tu sauras parfaitement t'en sortir.

Ici, c'est parce que tu essaies d'additionner des pourcentages (98 % c'est 1 % de moins que 99 %) que tu fais des erreurs.

Il y a des cas où additionner des pourcentages est correct, et dans ce cas, en additionnant directement des pourcentages, on va un peu plus vite. Parfois, il faut multiplier des pourcentages...
Mais dans la totalité des cas, en se ramenant à des unités concrètes, on peut aboutir.

[marcheur]

Je ne pense pas que dire que 98 % c'est 1 % de moins que 99 % c'est additionner des pourcentages et en tous cas pas au niveau du calcul.

Ce qu'on devrait dire au gens qui ne parviennent pas à comprendre c'est (au niveau des explications) des choses comme :

. 1 % de moins que 99 % n'est pas 1 % de 99 (que ce soit de 99 % ou de 99 kg)

. 50 % de moins n'est pas 50 fois moins (par exemple)

. 1 % de moins sur tout cet ensemble (le problème de la pomme de terre) = 50 kg


C'est donc plus des phrases qu'on cherche que des calculs. Mais merci à toi pour ta patience et ton temps.

[GaBuZoMeu]

Franchement, tu trouves que les exemples de phrases que tu donnes aident à la compréhension ? Moi je trouve plutôt que ça ne fait qu'augmenter la confusion.

[lyceen95]

Tu n'es pas matheux. Ok, pas de problème, je le répète.
Tu t'attaques à un 'énoncé d'exercice' qui est formulé de façon à tendre un piège. Un piège si efficace que même des gens qui sont relativement compétents en maths peuvent se tromper s'ils répondent un peu vite.
Oublie ce paradoxe.
Essaie de t'assurer que tu comprends les pourcentages quand il n'y a pas de piège, et ce sera très bien.

[marcheur]

Il y a une autre chose pour aider ceux qui ne comprennent pas, ce serait de faire comme un tableau décroissant du genre :

98,9 % d'eau donne (après calcul) : 90 kg au total
98,8 % d'eau donne (après calcul) : 83,3 kg au total
etc

Puisque l'apparence de paradoxe vient du fait que 98 est tellement proche de 99 qu'on se demande comment on peut tomber à 50 (par rapport au 100 de départ) par la suite.

Pour les personnes qui ne sont pas dans les nombres en eux-mêmes mais réfléchissent sur eux, ce sont des phrases et non des calculs qu'il faut.

La seule phrase où il manquait quelque chose est la dernière dans mon dernier message, à savoir:

1 % de moins que 99% d'eau sur tout cet ensemble (le problème de la pomme de terre) = 50 kg
ou mieux :
1 % de moins que 99% d'eau sur 100 kg au total donne 50 kg au total.

Il y en a surement d'autres encore qu'on pourrait dire.

[Sylviel]

Je suis moi aussi sceptique sur le fait que ces phrases aident à la compréhension.
Surtout que "1 % de moins que 99% d'eau sur 100 kg au total donne 50 kg au total." ça n'a pas de sens.*

Le point est de comprendre de quel % on parle.
1% de 1000€ et 2% de 50$ ce n'est pas une différence de "1%"
Déjà dans le premier cas on à des € et dans le second des $
ensuite 1% de 1000€ c'est 10€, 2% de 50$ c'est 1$...
Dis comme ça, ça semble évident, mais c'est exactement ce qui est à l'oeuvre dans ce "paradoxe".

Si tu veux reformuler on peut essayer ainsi:
100 kg de patates sont composés de 99% (99kg) d'eau et 1% (1kg) de matière sèche.
De l'eau s'évapore jusqu'à ne plus constituer que 98% de la masse restante,
ou de manière équivalente,
de l'eau s'évapore jusqu'à ce que les 1kg de matière sèche constitue 2% de la masse restante.
Il y a donc une proportion deux fois plus importante de matière sèche qu'avant évaporation.
Ou encore, la masse restante est deux fois plus faible.



*Cette phrase n'as pas de sens littéral. Pour lui en donner un il faut interpréter ce que tu veux dire.
Et il y a plusieurs interprétations possibles :
- au lieu de mélanger 99% d'eau et 1% de matière, on mélange 98% d'eau et 2% de matière (total : 100kg)
- au lieu de mélanger 99kg d'eau et 1kg de matière, on mélange 1% de 99kg de moins, donc 98.01 kg d'eau et 1kg de matière (total : 99.01 kg)
...

[marcheur]

Je reviens juste pour une question mais je ne me pose plus le problème par rapport à tout ça :
est-ce que 99 % d'eau et 1 % de matière sèche sur 100 kg au total veut dire 99 kg d'eau et 1 kg de matière sèche ?
C'est oui ou non mais je n'irai pas plus loin.

[lyceen95]

oui