Paradoxe et probabilité

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 21:44

merci de reparler de ce sujet

il est "clair" (il devrait l'être en tout cas) que l'urne est vide à minuit

voici une preuve pour les récalcitrants(non pas que l'urne est vide mais qu'elle l'est avec proba 1)

on définit les événements

En : la boule n est retirée avant minuit
l'événement A" l'urne à minuit est vide"
A = intersection des En pour n = 1 ,...,infini

on pose E'n = E1inter E2 inter ...En

A = intersection des E'n pour n = 1,...,infini
la suite des E'n est décroissante
le théorème de la limite monotone donne
P(A) = lim P(E'n)
or E'n est "les boules 1 jusqu'à n sont retirées avant minuit"
cet événement est certain (les boules 1,...,n ne sont plus ds l'urne à minuit -(1/2)^(n-1) )donc P(E'n) = 1
et P(A) = 1
A est quasi certain.

par **Patastronch** » 19 Déc 2006, 23:01

xon a écrit:Salut,

J'ai l'impression que ce raisonnement est faux, le fait "d'aller a l'infini" empeche de definir l'instant precis en question.

Par exemple 1/n tends vers 0 pourtant pour aucun n 1/n n'est nul.

fahr451 as tu une explication ou une maniere de lever ton paradoxe?

C'est justement pour ca que je dis : "Ce qui est faux bien entendu."

fahr451 a écrit:merci de reparler de ce sujet

il est "clair" (il devrait l'être en tout cas) que l'urne est vide à minuit

voici une preuve pour les récalcitrants(non pas que l'urne est vide mais qu'elle l'est avec proba 1)

on définit les événements

En : la boule n est retirée avant minuit
l'événement A" l'urne à minuit est vide"
A = intersection des En pour n = 1 ,...,infini

on pose E'n = E1inter E2 inter ...En

A = intersection des E'n pour n = 1,...,infini
la suite des E'n est décroissante
le théorème de la limite monotone donne
P(A) = lim P(E'n)
or E'n est "les boules 1 jusqu'à n sont retirées avant minuit"
cet événement est certain (les boules 1,...,n ne sont plus ds l'urne à minuit -(1/2)^(n-1) )donc P(E'n) = 1
et P(A) = 1
A est quasi certain.

Tu raisonnes a l'envers.

Dans ton raisonnement tu supposes que n est le nombre de boules dans l'urne. Et tu dis que quand n tends vers l'infini alors tu retires toutes tes boules. Or tu n'as pas n boules mais 10n boules. Tu en retires seulement n (meme si n tends vers l'infini ca ne veux pas dire que tu retires toutes les boules, il te restera les boules de n+1 a 10n dans l'urne)

Ce qui est faux dans ton raisonnement c'est de dire que p(A)=1 signifie que la probabilité que l'urne soit vide a minuit est de 1. Non ca veut seulement dire que les boules de 1 à n seront retiré avec certitude mais pas que tu as retiré les boules de n+1 a 10n (et cela meme si n tends vers l'infini)

Comme le disait Scelerat, infini=infini+1 est pas equivalent a 0=1 quand on simplifie par l'infini.

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 23:13

on rê ve la
on a une suite de boules !
A est l intersection d un nombre infini dénombrable d 'événements

par **Patastronch** » 19 Déc 2006, 23:36

fahr451 a écrit:on rê ve la
on a une suite de boules !
A est l intersection d un nombre infini dénombrable d 'événements

Ce n'est pas parceque tu en as une infinité que tu les a tous. Il t'en reste encore une infinité a retirer (les boules de n+1 a 10n). Tu sembles laisser croire que l'infini est une "valeur maximale" unique, ce qui n'est pas du tout le cas.

Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9n qui tends vers 0. Soit la proportion de boules retirées tends vers la nullité. On retrouve bien une probabilité qui tends vers 0 que l'urne soit vide.

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 23:39

de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport pour en déduire une probabilité?

par **Patastronch** » 19 Déc 2006, 23:46

fahr451 a écrit:de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport pour en déduire une probabilité?

En effet grosse erreur de ma part (avec grosse erreur de calcul) :

par :

Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9n qui tends vers 0. Soit la proportion de boules retirées tends vers la nullité. On retrouve bien une probabilité qui tends vers 0 que l'urne soit vide.

je voulais dire :

Si Bn est le nombre de boules retirées et Cn le nombre de boules ajoutées à un instant précis fonction de n , alors lorsque n tends vers + l'infini on a Bn/Cn=n/10n=1/9 . Soit la proportion de boules retirées est constante et vaut 1/9. On retrouve bien une probabilité nulle que l'urne soit vide.

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 23:51

je repose ma question de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport ?

(tu noteras que j'essaye de rester correct ce qui n'est pas si simple avec des interlocuteurs qui m'attribuent des affirmations fantaisistes "simplifier par l'infini"
"tu dis qu il y a n boules ds l urne" etc

par **Patastronch** » 19 Déc 2006, 23:52

fahr451 a écrit:je repose ma question de quel droit passes tu à la limite sur ce rapport ?

Parcequ'il reste de manière certaine 90% des boules ajoutées a tout instant fonction de n.

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 23:56

en proba il faut des événements ensuite la probabilité de ces evenements ,
et si on prend un nbre infini d événements être prudent sur ce qu'on dit
j'ai rédigé une preuve, pas toi .

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:07

fahr451 a écrit:en proba il faut des événements ensuite la probabilité de ces evenements ,
et si on prend un nbre infini d événements être prudent sur ce qu'on dit
j'ai rédigé une preuve, pas toi .

Oui et l'union de tes évenement doit représenter l'univers. Or comme je te le disais dans ton raisonnement, tu laisses sous entendre que ton univers est constitué de n boules et non de 10n boules. Ta probabilté de 1 signifie seulement que les n premieres boules de l'ensemble des boules de l'urne sont retirées de maniere certaine et non que toutes les boules de ton univers sont retirées de maniere certaine.

Et je n'ai nullement envie de rentrer dans une formalisation évidente pour prouver que : "il reste avec certitude des boules dans l'urne à tout moment" => "la probabilité que l'urne soit vide à minuit est nulle". Je pense que si tu t'en donnes la peine tu le démontreras facilement par toi meme.

par **fahr451** » 20 Déc 2006, 00:13

il ya une suite de boules = une infinité dénombrable
et dire que je sous entends le contraire est malhonnète de ta part.
d'autre part si le formalisme est évident pourquoi ne pas le faire?
ma preuve en effet est simple mais je l'ai écrite complètement.

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:27

fahr451 a écrit:il ya une suite de boules = une infinité dénombrable
et dire que je sous entends le contraire est malhonnète de ta part.
d'autre part si le formalisme est évident pourquoi ne pas le faire?
ma preuve en effet est simple mais je l'ai écrite complètement.

Pour te faire plaisir et histoire de prendre les gens pour des cons :

Si

représente l'évenement : il reste au moins une boule dans l'urne à un instant

Alors on a

(du fait qu'il reste 90 % des boules a tout moment dans l'urne de maniere certaine).

Si

représente l'évenement il n'y a aucune boule dans l'urne a l'instant

, alors on a

(puisque

est le complémentaire de

)

On en déduit donc :

Au cas ou (je me méfie avec toi):
On a

par **fahr451** » 20 Déc 2006, 00:29

ta dernière implication est fausse;passage indu à la limite tout simplement.

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:31

fahr451 a écrit:ta dernière implication est fausse.

Aiguille moi parceque la je vois pas.

par **fahr451** » 20 Déc 2006, 00:33

minuit est une limite; on doit passer à la limite sur n pour savoir cequ'il en est à minuit et on ne peut pas le faire n'importe comment
moi je l'ai fait correctement
théorème de la limite monotone;
toi tu as juste affirmé "donc à la limite on a .."

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:34

Non je dit simplement que le cas général implique le cas particulier. Rien de plus.

Si c'est vrai pour tout t, alors c'est vrai pour un t précis (limite ou pas limite).

par **fahr451** » 20 Déc 2006, 00:37

de quel t parles tu ??
le temps est discrétisé...
on a la date 1 , 2 ,3 ... ;
minuit n'est pas un instant atteint;

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:41

fahr451 a écrit:de quel t parles tu ??
le temps est discrétisé...
on a la date 1 , 2 ,3 ... ;
minuit n'est pas un instant atteint;

Bon on reprends :

Mon Dt et mon Ft et leur relation entre eux sont vrai indépendemment du probleme. Le seul lien avec le probleme dans ma démo , se trouve quand je dis que

(car 90 % des boules sont dans l'urne de maniere certaine a tout moment).

La justification entre parenthèse a été justifiée y compris pour la limite qui est minuit(dans un des posts antérieurs). Donc dans les valeurs que peuvent prendre t, minuit en fait parti.

Peut etre que quelque chose m'échappe mais j'ai plus l'impression que tu cherches la petite bete.

par **fahr451** » 20 Déc 2006, 00:45

c'est la première fois que tu parles enfin d'événement je ne vois dans quel post antérieur "linstant minuit aurait été justifié"
je ne chipote absolument pas
minuit n 'est pas un état t (il faudrait dire n le temps n'est pas continu ici )
on a une suite de dates et donc minuit ne peut se traiter que par un théorème limite

par **Patastronch** » 20 Déc 2006, 00:49

Je te laisse relire la conversation dans son intégralité pour prendre du recul, on en reparlera demain si tu veux. Je ferais de même pour prendre du recul. Ca évitera des arguments bornés.

Bonne nuit.

Paradoxe et probabilité

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