Inégalité

par **yos** » 14 Jan 2009, 14:28

Puisqu'il parait qu'on peut mettre des exercices d'olympiades faciles :
montrer que pour n>4 :

.

par **Zweig** » 14 Jan 2009, 14:43

Salut,

Ce n'est pas plutôt

?

D'après l'inégalité arithmético-géométrique :

par **yos** » 14 Jan 2009, 15:10

Il me semble que ça marche avec n.

par **Zweig** » 14 Jan 2009, 16:07

Je n'ai pas essayé, mais par récurrence ça doit se faire sans aussi.

par **lapras** » 14 Jan 2009, 16:44

Salut,
on vérifie que n=5 est vrai
Récurrence sur n :

par **yos** » 14 Jan 2009, 17:08

lapras a écrit:

Dérivée de ln(4x+6) ?

par **lapras** » 14 Jan 2009, 17:10

Héhé faut que j'apprenne à dériver moi! (j'ai oublié un facteur 4...)

par **Doraki** » 14 Jan 2009, 17:29

En faisant comme zweig j'utilise l'inégalité 2 fois :

(2n+1)! =
1*2* [3*...*(2n-3)] *(2n-2)* [(2n-1)*2n*(2n+1)]
< 2 * n^(2n-5) * (2n) * (2n)^3
= 32 * n^(2n-1)
< n^(2n+1) pour n >= 6

On vérifie à la main que c'est vrai aussi pour n=5

par **yos** » 14 Jan 2009, 17:58

Sinon par récurrence :

et

(hyp. de réc.),
et

(formule du binôme).

par **ThSQ** » 14 Jan 2009, 18:52

Dans le même genre un autre amusant :

... (zavez compris le truc)

par **yos** » 15 Jan 2009, 10:34

...

pour n>8.
On peut sûrement faire mieux.

par **ThSQ** » 15 Jan 2009, 18:24

Oui c'est très large mais c'est un curieux effet miroir.

par **yos** » 15 Jan 2009, 18:45

Et aussi

.

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