Inegalité

[MMu]

Soient les réels
Montrer que

[aviateur]

message supprimé car erreur.

[MMu]

@aviateur : il y a une erreur manifeste dans ton raisonnement ..

[aviateur]

Ah oui, j'ai pas mis l'inégalité ds le bon sens et cela ne marche plus. Je retire tout cela ne sert à rien de laisse r cela.L'exercice est dc + difficile
Voici une autre solution
D'abord je remplace dans chaque membre a,b,c par leur carré ce qui donne à montrer (pour a,b,c>0)

Ce qui revient encore à monter que le carré du membre de droite moins le carré du membre de gauche est positif, i.e
Mais alors je prends mon courage à deux mains pour calculer et trouver


qui est manifestement positif pour tout
Ceci montre que pour tout
De façon analogue on a


et cela montre que pour tout et cela termine la preuve.

[MMu]

Y a-t-il un courageux dans la salle pour vérifier les calculs de l'aviateur ?
Ou donner une solution plus simple ?

[aviateur]

Bonjour, une question : @MMU as-tu une autre solution du problème?

[MMu]

Oui , mais j'attends d'autres réponses ..

[MMu]

Salut @aviateur, qu'as tu utilisé pour tes calculs ? Voici ma démarche .
Je note .
Supposons (les autres cas sont similaires via des permutatios circulaires). On a :
Le maximum de est obtenu pour .
Il s'ensuit (q.e.d)
L'égalité a lieu pour des triplets

[aviateur]

Bonjour
@MMu concernant mes calculs j'ai utilisé bien sûr un logiciel de calcul formel (c'est un avantage car cela permet de faire plus de calculs sans se fatiguer mais aussi un inconvénient car parfois on zappe des démos + facile comme la tienne, c'est à dire moins calculatoire ). Les calculs sont bons et j'ai fait un copié-collé.
Ceci étant dit, je n'avais pas remarqué que dans le second cas j'ai tout de même trois termes avec un signe - Donc pour finir la démo il faut absorber ces 3 termes avec l'inégalité de Young ()
Je l'ai fait mais je n'ai rien noté. Celui qui est intéressé peut le faire en exercice: il y a 3 à choisir correctement pour que la minoration ne contienne que des termes de signe +.
Bien entendu je préfère ta démonstration, je suis d'accord avec sauf la dernière ligne pour les cas d'égalités:
pour moi, il n' y a que (x,x,x).

[MMu]

Prenons , donc :


@aviateur : y a-t-il égalité ?

[aviateur]

Oui tu as raison mais alors dans ta démo d'où sors-tu tous les cas d'égalité?

[MMu]

Oui tu as raison mais alors dans ta démo d'où sors-tu tous les cas d'égalité?

On a :
On a les solutions :
Via les permutation circulaires on obtient les autres.