Inégalité

[aviateur]

Bonjour
Pour tout public, voici une inégalité "pas trop méchante" que je propose mais pas si facile que ça malgré tout:

Soient . On pose

Prouver que

[Ben314]

Salut,

vu que pour tout et donc pour tout

Et on en déduit même que ssi vu que ssi .

[aviateur]

Oui, tu vas bien vite!

[aviateur]

Bon alors j'ai aussi :

[Ben314]

Ben là, je vais laisser plus de temps : j'ai cours super tôt demain donc... dodo...

[aviateur]

Ok, honnêtement c'est une fabrication maison donc je ne sais pas si c'est facile.

[Ben314]

Ça m'a (nettement plus) occupé :

- Est évidement toujours positif quelque soit les réels (pas forcément positifs)
- Est nul ssi ou bien et (à permutation près).

[aviateur]

Oui c'est intéressant comme solution puisque tu montres que cela reste vrai pour tout a,b,c.

Sinon j'étais parti de

[chan79]

Bonjour
Pour tout public, voici une inégalité "pas trop méchante" que je propose mais pas si facile que ça malgré tout:

Soient . On pose

Prouver que

salut
Autre méthode, bien moins rapide que celle de Ben314


équivaut à



et comme a, b et c sont positifs, cqfd

et on a l'égalité ssi a=b=c

[Archytas]

Dans la même veine

Soient a,b,c,d,e et f positifs tels que et t>1. Montrer qu'au moins une des inégalités suivantes est fausse :

Je n'ai pas la solution ^^.

[Ben314]

Salut,

Soient a,b,c,d,e et f positifs et t>1. Montrer qu'au moins une des inégalités suivantes est fausse :

Tu est sûr que tu as pas une erreur d'énoncé (par exemple une des inégalité dans l'autre sens) ?
Parce que là, avec a=b=c > d=e=f > 0 et n'importe quel t>0, les trois inégalités sont trivialement vérifiées.

[Archytas]

Pardon j'en oublie la moitié:
a,b,c,d,e et f tels que
Je corrige dans l'énoncé initial

[aviateur]

Bonjour
Sauf erreur avec a=b=c=1 et d=e=3/4 et f=3/2
Avec les trois inégalités sont vérifiées pour assez petit
Pour le voir on écrit les 3 inégalités sous la forme
En t=1 mais et on a et
A mon avis l'énoncé est faux

[Archytas]

Je pense qu'il y a un soucis dans le calcul de ta dérivée de non ?
Je trouve .
Et geogebra a l'air d'indiquer que effectivement est négative pour !

[aviateur]

Bonjour Archytas
Oui tu as raison. J'ai dû me tromper en calculant q'(1).

[aviateur]

Rebonjour @Archytas
Si ton exercice est "vrai" alors on doit avoir par exemple
q2(1)>0 et q3(1)>0 implique q1'(1)<0.
Autrement dit
(*) a+b+c=e+f+g , ab+ac+bc>ef+fg+ge et abc>efg impliquent a ln(a)+...-(e ln(e)+....
D'autre cas son à envisager. (**) q1'(1)>0 et q2(1)>0 implique q3(1)<0 (pourvu que ces cas soient non vide).
Néanmoins si inversement on démontre (*) , (**) ,(***) la réciproque me semble alors assurée.
Ceci étant dit montrer que (*) ne me parait pas trés évident et c'est à cela que je regarderai en premier.
Je me suis un peu embrouillé mais j'avais cru trouver un contre exemple à (*) mais je ne le retrouve plus.
Alors actuellement je ne sais pas ce qu'il en est.

[aviateur]

Bonjour
@Archytas
Cet exemple va te paraître tordu mais j'ai fait une recherche aléatoire pour aller plus vite.

{a, b, c, e, f, g} = {4.2, 1/2, 1/2, 1.16, 3.85, 5.2 - e - f}={4.2, 1/2, 1/2, 1.16, 3.85, 0.19}
Je trouve que q'(1à,q2(1) et q3(1) positifs. Ce qui confirmerait que ton inégalités est fausse.

[Archytas]

Salut,

Désolé j'avais oublié de répondre à ton ancien message !
Geogebra semble m'indiquer qu'il n'y a pas de problème, tu es sûr de tes calculs ?

Je doute que l'énoncé soit faux, je l'ai pris dans un magasine (AMM) et l'absence du symbole (*) devant l'énoncé indique que l'auteur connait une solution (celle-ci apparaîtra certainement dans le numéro suivant). Ce serait tordu qu'il demande de montrer quelque chose qu'il sait faux (cela dit la démonstration qu'il pense avoir est peut-être fausse).

Si j'ai un peu de temps j'essaierai de me pencher sur ce problème mais j'en doute ^^.

[aviateur]

Bonjour
Etre sûr non car il faut vérifier l'exemple que je donne et comme j'ai déjà fait une erreur.

Mais je réexplique avant tout mon raisonnement (qui par ailleurs peut servir à la démonstration si la proposition est vraie)

Je pose pour (t>=1)
q_1(t)=a^t+b^t+c^t -(e^t+g^t+g^t)
q_2(t)=(a b)^t+....-((ef)^t+....)
q_3(t)=(abc)^t-(efg)^t

Les fonctions q_i sont continues, dérivables,...)
Supposons que je trouve un triplet a,b,c tel que q_1'(1)>0, q_2(1)>0 et q_3(1)>0.
C'est clair que pour t assez proche de 1, q_1(t)>0 (car q_1(1)=0) q_2(1)>0 et q_3(1)>0.
je vérifie mon exemple....
Non il n'est pas bon....J'ai dû faire une erreur.
En tout cas je commencerai par démontrer par exemple que
q2(1) et q_3(1) positifs impliquent q_1'(1)<0 mais ça c'est assez difficile.

[Archytas]

Oui, je vois ça peut être un bon départ !
Personnellement j'aurais commencé à réduire le problème à
a+b+c=d+e+f=1 (ce qu'on peut faire sans perte de généralité en divisant par une constance ça ne change pas le problème).
On peut donc se placer sur le morceaux de plan de

Puis étudier la fonction définie par

Et traduire les hypothèses en terme de lieu géométrique que dois avoir l'image de f (qui sera connexe par arc et compacte ça peut servir).
M'enfin pour le peu que j'ai essayé je n'ai pas été bien loin ^^