Inégalité

[aviateur]

Bonjour
Soit x et y positifs vérifiant x+y=1.

Montrer que

[MJoe]

Bonjour @aviateur et bonjour à tous,

J'ai tout exprimé en fonction de la variable . Il s'agit donc de montrer que :



J'en suis là.

J'ai tracé la courbe représentative de la fonction :


Cela ressemble à une sinusoïde. Ne faudrait-il pas faire une transformée de Fourier ?

Autre chose qui pourra peut-être aider quelqu'un. J'ai tracé les courbes des 3 fonctions suivantes :
en rouge
en bleu
en vert

En tout cas c'est beau


MJoe.

[aviateur]

Bonjour
@M.Joe Oui il faut commencer comme ceci.
Pour une démonstration possible je donne quelques indication.
1. Remarquer que f(x)=f(1-x) donc se limiter à [0,1/2].
2. Considérer x<1/3 et utiliser l'inégalité de Bernouilli (i.e) (pour p<1)
On est amener à majorer une fonction relativement facile à calculer.
3. 1/3<x<1/2 je donnerai une indication ultérieurement.

L'ensemble n'est pas trop difficile.

[MJoe]

Bonjour à tous,

La fonction est croissante (on peut montrer facilement que sa fonction dérivée est positive).
Cette fonction est majorée par sur [0;1/3].

Si cela peut aider.

MJoe.