Inégalité

[mathlegend]

bonjour
soit deux réels positifs
prouver que: >

[benekire2]

Salut ! Il me semble qu'en majorant , une étude de fonction suffit. Dit moi si tu trouve en étudiant la fonction, et surtout si il y a moins "analytique" , faites moi signe.

[ffpower]

Je veux bien voir ton étude de fonctions..

[benekire2]

Ouais normalement en étudiant x --> 2x^x ça passe , enfin je crois.

[ffpower]

Essaie,mais je ne crois pas :happy2:

[benekire2]

Supposons xon a : x^y > x^x et y^x>x^x et donc x^y+y^x > 2x^x > 1 puisque x^x>1/2 pour tout x positif.

A moins que je ne dise encore n'importe quoi ...

[ffpower]

Supposons x x^x

Tu es sur ?

[benekire2]

Tu es sur ?

Et bien oui, maintenant je suis sûr que j'ai encore dit n'importe quoi ( sans vérifier) :marteau:

Donc comment vous procéderiez là dessus ?

[ffpower]

Pour ma part j'étais tombé et avez réfléchi dessus dans le passé, avec étude de fonctions et compagnies, sans succés, puis j'ai lu une solution comportant une astuce que j'aurais probablement jamais trouvé.. ( mais p-e est-ce une astuce classique d'olympiade, je sais pas.. )

Tout ça pour dire que je connais la soluce et que donc je laisse réfléchir..

[benekire2]

Une petite astuce pour ceux qui cherchent ? :mur:

[ffpower]

Comparer (1+t)^a et 1+at..

[benekire2]

Comparer (1+t)^a et 1+at..

L'inégalité de Bernoulli ... joli .. en y réfléchissant, je pense que ça doit être très connu en olympiade et que ça fait parti du bagage classique avec IAG, shur, Cheby , CS, ... ( bien que je ne sache pas utiliser concrètement ces inégalités de partout ... )

[Zweig]

J'avais pensé à Bernoulli en voyant l'inégalité (ça me rappelle une autre du même genre dans les envois d'Animath) mais en fait ... j'vois pas comment 'utiliser ... Enfin dans l'inégalité de Bernoulli, le "a" est un naturel, right ? Ou bien on peut l'étendre aux réels positifs ?

[Olympus]

Salut Zweig !

Cela se fait en dérivant par rapport à avec et .

En fait :



Mais est croissante, car

Donc si :


Donc est décroissante sur , d'où .

Pour , c'est quasiment trivial ( 2~3 lignes mais pas le temps ... ) .

[Ben314]

J'avais pensé à Bernoulli en voyant l'inégalité (ça me rappelle une autre du même genre dans les envois d'Animath) mais en fait ... j'vois pas comment 'utiliser ... Enfin dans l'inégalité de Bernoulli, le "a" est un naturel, right ? Ou bien on peut l'étendre aux réels positifs ?

Sinon, un truc super façile à prouver et trés souvent utile :
Si f est de classe C2 sur un intervalle I et que f">=0 sur I alors la courbe de f est au dessus de toutes ces tangentes (évidement, si f"=<0 sur I, la courbe est au dessous de toutes ces tangentes)

T'as plus qu'a appliquer à f(x)=x^a (x dans l'intervalle R+, a quelconque) qui a pour tangente en x=1 la droite y-1=a(x-1) et pour dérivée second f"(x)=a(a-1)x^(a-2) de signe constant (<0 si a dans ]0,1[, positif sinon)