Inégalité

par **mathlegend** » 05 Déc 2010, 15:06

bonjour
soit

trois réels tel que :

=

par **benekire2** » 05 Déc 2010, 16:25

on trouve que l'inégalité est équivalente a :

1+(a+b+c)^3-3(ab²+2ac²+2ba²+ba²+bc²+ca²+2cb²) >0

A toi de voir ce que tu peut en faire,
Edit : correction d'une vilaine erreur.

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 16:46

Salut,
Soit

le plus petit des trois (possible à permutation circulaire prés). On a :

ce qui est trivial vu que

et que

Le seul cas d'égalité est lorsque

.

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 16:47

benekire2 a écrit:On peut toujours supposer que a>b>c...

Non, on ne peut pas : l'inégalité n'est stable qu'à permutation circulaire prés sur les trois variable.
Elle est modifiée si on échange deux variables.

par **benekire2** » 05 Déc 2010, 16:56

Ben314 a écrit:Non, on ne peut pas : l'inégalité n'est stable qu'à permutation circulaire prés sur les trois variable.
Elle est modifiée si on échange deux variables.

Merde oui, j'ai cru lire tout les cycliques a droite alors que il n'y en a que la moitié ,

Au passage Ben, d'où te vient cette belle réécriture de l'inégalité ?

Merci :lol3:

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 17:52

benekire2 a écrit:Au passage Ben, d'où te vient cette belle réécriture de l'inégalité ?

ah ah....
Cherche...
(j'ai commencé par un truc super naturel qui conduit à la soluce puis j'ai "effacé" les étapes...)

par **benekire2** » 05 Déc 2010, 18:05

Ben314 a écrit:(j'ai commencé par un truc super naturel qui conduit à la soluce puis j'ai "effacé" les étapes...)

Comme souvent, tu aime bien faire ça :zen:

En y réfléchissant ; enfait , c'est super traitre de se demander comment tu passe d'une ligne à l'autre, alors j'ai préféré tout reprendre a 0 et ce qui est vrai c'est que on a vite envie de construire des cubes , et en regardant a droite le 3ba^2 suggère de construire (b-a)^3 et le reste s'en suit si l'on veut encore faire un autre cube. Bon le tout c'est quand même de se convaincre que il faut poser a le min, réécrire un peu "à la chance" et de voir que ça passe ...

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 18:11

Perso, j'y suis pas allé "à la chance", je me suis dit que, pour pouvoir utiliser l'hypothèse disant que a,b,c étaient dans le même intervalle de largeur 1, y'a pas photo, il faut dire que le plus petit c'est a et que que les deux autres s'écrivent b=a+x, c=a+y avec x,y dans [0,1].

Et, comme par hasard, si tu substitue b=a+x et c=a+y dans l'inégalité, il te reste... quasiment rien...

par **benekire2** » 05 Déc 2010, 18:36

En effet, c'est bien mieux , :lol3: Merci ,

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