Je crois en effet que j'ai tort, qu'il me manque des scénarios, des subtilités, je crois aussi que j'ai dû louper quelque chose dans le concept de "preuve mathématique", comme je pense me le fait remarquer Ben314. Je crois aussi en l'intelligence supérieur, aussi au niveau des connaissances des autres sur la question.
Mais la croyance n'a pas sa place. La raison doit l'emporter. Mon raisonnement m'amène à une conclusion. Je la crois fausse, incomplète, mais je la raisonne juste et suffisante dans ce qu'elle ne laisse pas d'autres choix tout en étant compatible avec les réalités mathématiques de base. J'espère que la raison aura toujours la raison de la croyance, dans un sens comme dans l'autre

Il n'existe pas de nombre M impair, pour qui la multiplication par 3 plus 1 ne serait pas un nombre pair.
Il existe toujours un, et un seul nombre impair qui détient un nombre pair dans sa suite de double.
Seul le chiffre impair 1 multiplié par 3n+1 donne un double de sa propre suite de double, qui le ramène à lui-même, car dès lors que n est supérieur à 1, 3n+1 sera toujours différent de 4.
C'est l'énoncé de la question qui amène le lien 3n+1 pour un nombre impair, et la division par 2 si c'est un pair.
J'ai réparti tous les nombres impairs d'une certaine façon, que je crois exhaustive et qui met en évidence une intrication, me semble-t-il.
Où est-ce que ça cloche ? Qu'est-ce qu'il manque ? Le sens de la navigation ? Elle serait induite par la relation du parent unique des impairs parcourus, et l'unicité des impairs dans la solution. Des boucles indépendantes peut-être ? Ça voudrait dire qu'elles sont isolées des séries des autres dans la distribution. On les voit dans la Syracuse 5, car on a des trous dans le modèle, des impairs dont l'entièreté des doubles et ses doubles... ne sont pas divisibles par 5.