10 étapes pour un seul chiffre

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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10 étapes pour un seul chiffre

par Imod » 02 Fév 2014, 14:09

Bonjour à tous

Un problème que j'ai déjà soumis aux Mathématiques.net et qui devrait en intéresser plus d'un ici .

On se donne l'écriture décimale d'un entier quelconque . On s'autorise à placer des "+" où l'on veut entre deux chiffres puis on effectue l'addition , ceci constitue une étape . On procède de même sur le résultat obtenu = deuxième étape , ... .

Montrer qu'en 10 étapes on peut réduire n'importe quel entier à un seul chiffre .

Bon courage :zen:

Imod



Sourire_banane
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par Sourire_banane » 02 Fév 2014, 14:17

Salut Imod,
Imod a écrit:Bonjour à tous

Un problème que j'ai déjà soumis aux Mathématiques.net et qui devrait en intéresser plus d'un ici .

On se donne l'écriture décimale d'un entier quelconque . On s'autorise à placer des "+" où l'on veut entre deux chiffres puis on effectue l'addition , ceci constitue une étape . On procède de même sur le résultat obtenu = deuxième étape , ... .

Montrer qu'en 10 étapes on peut réduire n'importe quel entier à un seul chiffre .

Bon courage :zen:

Imod

En moins de dix étapes ou en 10 étapes ? Parce qu'avec un entier compris entre 0 et 9 ben on est largement fixé :zen:

Imod
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par Imod » 02 Fév 2014, 14:21

10 ou moins de 10 , c'est important ?

Imod

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 02 Fév 2014, 15:37

Imod a écrit:10 ou moins de 10 , c'est important ?

Imod

Ben faut le préciser... C'est comme si je te disais "10 ou un peu plus de 10, booooh c'est pas trop grave"

Imod
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par Imod » 03 Fév 2014, 20:14

Et si je vous disais qu'en une seule étape on fait 1000 ou moins :zen:

Imod

Suldrun
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par Suldrun » 03 Fév 2014, 20:51

Il faut des connaissances de prépa ou le lycée suffit ? :hein:

Imod
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par Imod » 03 Fév 2014, 21:12

C'est niveau collège :zen:

Imod

Suldrun
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par Suldrun » 03 Fév 2014, 21:18

Imod a écrit:C'est niveau collège :zen:

Imod


Merci :)
Alors au travail! :we:

Imod
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par Imod » 03 Fév 2014, 21:22

Mais bon tout le monde sèche avec bac+++++

La difficulté n'est pas dans la sophistication des outils utilisés mais dans l'astuce et il en faut :mur:

Imod

Suldrun
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par Suldrun » 03 Fév 2014, 21:32

Je crois que j'ai trouvé! :zen:

nodjim
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par nodjim » 03 Fév 2014, 21:33

Il faut trouver un nombre avec beaucoup de zéros, j'imagine.

nodjim
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par nodjim » 03 Fév 2014, 21:37

Si tu fais moins de 1000 en une seule étape, je ne vois pas pourquoi tu aurais besoin de 10 étapes pour arriver à un seul chiffre.

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par Imod » 03 Fév 2014, 21:47

Ben oui , Nodgim , qui peut le plus peut le moins , je n'ai fait que recopier le problème , après si la solution va au-delà , qui va s'en plaindre ?

Imod

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Ben314
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par Ben314 » 04 Fév 2014, 09:58

Imod a écrit:Mais bon tout le monde sèche avec bac+++++

La difficulté n'est pas dans la sophistication des outils utilisés mais dans l'astuce et il en faut :mur:

Imod

Un petit coucou pour dire que... je cherche et je trouve pas...

"j'ai peut-être rien à dire, mais je le dit !, c'est pas comme d'autres..." (P.Geluck : Le chat)
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jlb
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par jlb » 04 Fév 2014, 11:18

Bonjour, est-ce un truc du style:

456668=0,4x10^6 + 0,5x10^5 +0,6x10^4+0,6x10^3+0,6x10² +0,8x10 et dans les puissances, j' intercale le + après le 1, cela réduit bien, non?

après avec une décomposition à partir d'une bonne puissance, le résultat doit tomber facile?

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Ben314
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par Ben314 » 04 Fév 2014, 15:37

jlb a écrit:Bonjour, est-ce un truc du style:

456668=0,4x10^6 + 0,5x10^5 +0,6x10^4+0,6x10^3+0,6x10² +0,8x10 et dans les puissances, j' intercale le + après le 1, cela réduit bien, non?

après avec une décomposition à partir d'une bonne puissance, le résultat doit tomber facile?
Je comprend pas trop ce que tu fait...

Partant de 456668, tu as le droit de faire :
4+5+6+6+6+8=35 puis 3+5=8 [2 étapes]
ou bien
45+6+66+8=125 puis 12+5=17 puis 1+7=8 [3 étapes]
ou bien
4+566+68=638 puis 6+38=44 puis 4+4=8 [3 étapes]
ou bien
456+668=1124 puis 112+4=116 puis 1+16=17 puis 1+7=8 [4 étapes]
etc...

Et il faut montrer que, quelque soit le nombre de départ, il y a au moins une façon de procéder qui donne un unique chiffre aprés moins de 10 étapes.
En fait, en découpant systématiquement chiffre par chiffre (1er cas çi dessus), tu conclue en moins de 10 étapes pour tout entier inférieur à... une borne archi super gigantesque, mais évidement, il existe des entiers (extraordinairement grand...) où il faut plus de 10 étapes en coupant "un par un" et il faut montrer que, dans ce cas, il est plus interessant de couper autrement.
Par exemple, pour 1001999,
Si on coupe "un par un" on obtient 1+0+0+1+9+9+9=29 puis 2+9=11 puis 1+1=2 [3 étapes]
Mais on peut aussi faire 1001+999= 2000 puis 2+0+0+0=2 [2 étapes]
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par Ben314 » 04 Fév 2014, 17:33

J'ai un début de vague truc qui ressemble peut-être à une piste... (donc j'ai pas gras à dire, mais JE LE DIT !!!)
Partant d'un N supposé extrèmement grand, on commence par faire la somme des chiffres (un par un) pour trouver une somme S (assez grande elle aussi...). On se fixe ensuite un nombre "rond" R un peu plus grand que S (un ou bien un avec pas trés grand) et, dans la somme S des chiffres, on regroupe certains chiffres de façon astucieuse pour faire augmenter S dans un premier temps sans qu'il dépasse R puis on fait un dernier petit "regroupement" pour que S dépasse R mais de trés peu.
La somme sera alors égale à avec pas trop grand donc composée de quelques chiffres au début, puis d'un tas de zéro pui de quelques chiffres à la fin ce qui fait que la somme des chiffres de S ne sera pas trés grande...

Bon, évidement, c'est pas encore trop clair mais il pourrait y avoir un début d'idée...
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nodjim
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par nodjim » 04 Fév 2014, 20:11

C'est mon idée aussi Ben, mais il faut prouver que ça marche quelle soit la suite de chiffres. C'est là dessus que je bute.

jlb
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par jlb » 04 Fév 2014, 20:14

Ben314 a écrit:Je comprend pas trop ce que tu fait...


Salut, j'ai bien compris la démarche mais Imod ne nous a pas préciser comment était écrit le nombre décimal. Du coup, je décide de son écriture!!!! Et en choisissant une bonne décomposition à l'aide de puissance de 10, le résultat tombe en quelques étapes!!!

Après, si Imod ne le permet pas...

Monsieur23
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par Monsieur23 » 04 Fév 2014, 20:19

Aloha,

Est-ce que Imod peut confirmer qu'il n'y a pas de magouille du genre de jlb ?

Sinon j'avais la même idée que Ben, je regarde s'il y a toujours moyen, en 1 ou 2 étapes, de faire apparaître presque que des 0… (du genre de JLT sur les-maths.net, haut de la deuxième page).
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