Soit v le vol, t le temps de vol, et i le nombre d’étapes impaires du vol.
La relation de t à v et i est : t = ln(v)/ln2+(ln6)/ln2)*i
Je propose dans le nuage de points v,t que chaque point soit le croisement d’une latitude et d’une longitude, exactement comme une coordonnée terrestre. Sur le nuage de point, la latitude est une courbe qui monte de gauche à droite tandis que la longitude descend de gauche à droite.
La courbe de latitude a pour équation : ln(v)/ln(2)+ a*ln(6)/ln(2
La courbe de longitude a pour équation : a*ln(v)+b
Pour obtenir les valeurs a et b, je suis cette méthode :
Je constate d’abord que les points s’alignant ‘’à l’œil’’ sur une même latitude ont une même valeur de i. Par exemple, les vols 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 ont tous i = 1 (ils sont tous de la forme 3v+1 = 2^n). On peut donc extraire facilement a comme étant le coefficient régression logarithmique et voir que la courbe obtenue s’aligne parfaitement sur ces vols (dans Excel : a = PENTE(données_t;LN(données_v))
Après je constate aussi ‘’à l’œil’’ qui si on part d’un des points de la latitude i = 1, par exemple 85, on voit que les points 85 53 35 23 15 9 semblent suivre une courbe qui descend de gauche à droite donc une possible longitude. En cherchant les valeurs t et i de ces vols, j’obtiens ce tableau :
v t i
85 9 1
53 11 2
35 13 3
23 15 4
15 17 5
9 19 6
Il est simple de constater que pour l’on passe de i à i+1, t passe à t+2. Là encore il suffit d’utiliser avec ln(v) pour les données X et t pour les données Y :
a = PENTE(données_Y;LN(données_X)) et b = ORDONNEE.ORIGINE(données_Y;LN(données_X)
Une macro dans Excel me permet de reproduire ce procédé et d’extraire tous les coefficients a et b du tableau de mes données v, t, i. Voilà par exemple quelques points alignés sur les mêmes longitudes :
85 53 35 23 15 9
341 213 141 93 61 37 25
1365 853 565 369 241 149 99 65 43
5461 3413 2261 1 477 965 597 397 261 173 115 79
21845 13653 9045 5909 3861 2389 1589 1045 693 461 305 203 135
87381 54613 36181 23637 15445 9557 6357 4181 2773 1845 1221 813 541 361 247
Dans l’ordre de ces 6 lignes de longitude, les coefficients à et b sont :
-4,531 29,109
-4,596 37,757
-4,624 46,297
-4,698 55,257
-4,724 63,985
-4,793 73,197
La question que je pose à la grande sagacité de ce forum est : peut-on généraliser cet outil sur le plan mathématique en conceptualisant mieux ces ‘’objets’’ latitude et longitude ? Il est clair pour moi que latitude = nombre d’étapes impaires, et pour la longitude, la relation est que les points s’alignent depuis un point de départ situé sur la latitude la plus basse en suivant le protocole i+1 = t+2 pour trouver les autres points. J’ai l’intuition que l’ensemble infini des latitudes et longitudes possibles est beaucoup plus grand que celui des courbes de latitude et de longitude passant par les points v,t, et de surcroit l’ensemble de leurs croisements est encore plus petit.
En conclusion je pense que ces ‘’outils’’ latitude et longitude montrent surtout que le nuage de points v,t caractéristique de la conjecture de Syracuse n’est pas chaotique mais entièrement défini par ces courbes.
Si vous êtes interessé par les données, pas de soucis, je peux vous faire parvenir les tableaux Excel.
