Evènements indépendants en probabilité

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
dragoverd
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Evènements indépendants en probabilité

par dragoverd » 26 Nov 2021, 19:20

Bonjour à tous,

J'aimerais comprendre finement le lien entre "événements indépendants" et "répartition". A l'origine je n'arrive pas à expliquer pourquoi deux événements indépendants ne le sont plus si on change la cardinalité de l’univers.

L'exemple de base est simple (un exemple d'un cour de 1ere):

Nous travaillons avec un jeux de carte de 32 cartes standard
Soit A l'évènement "Tirer un roi"
Soit B l'évènement "Tirer un trefle"

donc "A ∩ B" est "Tirer le roi de trefle"

donc P(A) = 4 / 32, P(B)= 8 / 32 et P(A ∩ B) = 1 / 32

et on peut donc vérifier que P(A ∩ B) = 1 / 32 = P(A) x P(B) = 4 / 32 x 8 / 32

Donc sans surprise les évènements A et B sont indépendants

Jusque là je suis un homme heureux ;-)

Maintenant ajoutons deux cartes blanches dans le jeu de carte et refaisons les mêmes calculs

P(A) = 4 / 34, P(B)= 8 / 34 et P(A ∩ B) = 1 / 34

et là P(A) x P(B) = 4 / 34 x 8 / 34 = 32 / 1156 = 16 / 578 = 8 / 289 et différent de 1/34
donc les évènements ne sont pas indépendants ???

Et là je ne comprend pas pourquoi le fait d'ajouter deux cartes blanches dans le jeux lie les deux événements alors que ces cartes n'interviennent même pas dans ces deux événements ...8/

De plus j'ai trouvé ça sur le web, c'est un autre exemple d'un cour qui semble faire un lien entre "indépendance" des évènements et "répartition des solutions" :

Dans le lancer d'un dé équilibré, les événements A = « obtenir un numéro pair » = {2; 4; 6} et B = « obtenir un multiple de 3 » = {3; 6} sont des événements indépendants. La répartition des nombres pairs dans l'univers Ω = {1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6} est identique à celle des nombres pairs dans B.

Traduit sous forme de probabilité, cela donne :

P ( A ) = P B ( A ) = 1 / 2 .

On peut aussi simplement observer que :

P ( A ) = 1 / 2 , P ( B ) = 1 / 3

et que

P ( A ∩ B ) = P ( { 6 } ) = 1 / 6 = P ( A ) ⋅ P ( B ).

D'autre part, les événements A = « obtenir un nombre pair » = {2; 4; 6} et C = « obtenir au moins 4 » = {4; 5; 6} ne sont pas indépendants car la répartition des nombres pairs dans l'univers de départ est de 1/2 et la répartition dans le sous-univers C est de 2/3.

On peut aussi simplement observer que :

P ( A ∩ C ) = P ( { 4 ; 6 } ) = 1 / 3 ≠ P ( A ) ⋅ P ( C ) = 1 / 4

Je me rend compte que je ne comprend donc pas la notion d'indépendance de deux évènements... quelqu'un aurait-il la gentillesse de venir éclairé ma lanterne ?

Merci d'avance pour votre aide
Modifié en dernier par dragoverd le 01 Déc 2021, 18:56, modifié 1 fois.



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mathelot
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par mathelot » 26 Nov 2021, 19:52

bonsoir,
en rajoutant deux cartes blanches, on change d'univers et on change de probabilité. On ne voit pas pourquoi deux évènements continueraient d'être indépendants l'un de l'autre.

beagle
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par beagle » 26 Nov 2021, 20:38

Prends comme compréhension (qui vaut définition aussi d'ailleurs) de l'indépendance:
p(A) = p(A/B)
connaitre B , le sachant B ne change pas la proba de A
cela devrait aller mieux
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

lyceen95
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par lyceen95 » 26 Nov 2021, 21:39

On a notre jeu de 32 cartes, bien connu.
Au lieu d'ajouter 2 cartes, je vais ajouter 2000 cartes.
Sur le principe, ça ne change rien, mais sur l'intuition, ça change tout.
Je tire une carte.
Evénement R : C'est un Roi
Evénement T : c'est un Trèfle.

Je tire une carte, quelle est la probabilité que ce soit un roi ? très faible.
Je tire une carte, je constate que c'est un trèfle. Quelle est la probabilité que ce soit un roi : 1/8

Le fait de savoir que c'est un trèfle modifie la probabilité que ce soit un roi.
Et on peut inverser ...
Je tire une carte , quelle est la probabilité que ce soit un trèfle : très faible.
On me dit que c'est un roi : d'un coup, la proba monte à 1/4

Forcément, si R ou non-R influe sur la proba de T, alors également l'information T ou non-T influe sur la proba de R.

Au sein de R , la proportion de T n'est pas la même qu'au sein de non-R ... les événements R et T sont donc dépendants.

Ou pour ton exemple sur les dés : au sein de {1,2,3} , la proportion de nombres pairs est elle la même qu'au sein de {4,5,6} ?

dragoverd
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par dragoverd » 02 Déc 2021, 12:19

Merci à vous trois pour vos réponses, j'ai besoin de valider ce que je pense avoir compris

Reprenons l'exemple de base :

Nous travaillons avec un jeux de carte de 32 cartes standard
Soit A l'évènement "Tirer un roi"
Soit B l'évènement "Tirer un trèfle"

donc "A ∩ B" est "Tirer le roi de trèfle"

donc P(A) = 4 / 32, P(B)= 8 / 32 et P(A ∩ B) = 1 / 32

et on peut donc vérifier que P(A ∩ B) = 1 / 32 = P(A) x P(B) = 4 / 32 x 8 / 32

j'en concluais que A et B était donc indépendant... mais si je reprend ce que tu expliquais @lyceen95

si on regarde P(A) = 4/32, ce n'est pas égal à P de A sachant B, si je tire une carte et que c'est un trèfle alors la probabilité pour que ce soit un roi est de 1/8...

donc mon erreur n'est t elle pas simplement de conclure que A et B sont indépendant ? Ces deux évènements ne sont pas indépendant du tout quelque soit le nombre de carte du jeux !

C'est bien ça ?

beagle
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par beagle » 02 Déc 2021, 13:19

"si on regarde P(A) = 4/32, ce n'est pas égal à P de A sachant B, si je tire une carte et que c'est un trèfle alors la probabilité pour que ce soit un roi est de 1/8... "

4/32 et 1/8 c'est assez proche tout de meme
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

dragoverd
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par dragoverd » 02 Déc 2021, 18:20

:oops: En effet ... très, très proche en effet ...

Du coup coup je ne comprend rien... désolé

beagle
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par beagle » 02 Déc 2021, 18:39

dans le dernier exemple pris:

il ya indépendance par la formule
P(A inter B) = P(A) x P(B)

et indépendance par les différents possibles:
P(A/B)=P(A)
P(A/ nonB) =P(A)
P(B/A)= P(B) = P(B/nonA)

donc tout va bien là
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

lyceen95
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Re: Evènements indépendants en probabilité

par lyceen95 » 02 Déc 2021, 18:55

4/32 et 1/8, c'est tellement proche que c'est égal.

On peut dire 2 choses ...

Je savais que les événements étaient indépendants, je calcule les 2 formules, et je constate que je trouve bien 2 fois le même résultat (4/32 ou 1/8, c'est exactement pareil).
Ou alors
Je constate que les 2 calculs donnent le même résultat, et donc je peux affirmer que les événements sont indépendants.

Quand on passe à la suite de l'exercice, quand on ajoute des cartes blanches ... ça change l'histoire.

 

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