Fonction périodique

Bonjour. Je rencontre quelques difficultés dans la résolution de cet exercice. Pouvez vous m'aider ? Voici l'énoncé: soit d un nombre irrationnel. Démontrer que la fonction f(x)=sin x + cos(dx) n'est pas périodique.
Merci !

Bonjour,

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I.

f est périodique si et seulement si:

f ( x + T) = f ( x )

Ça je sais mais ?

Va voir du côté du théorème de Jacobi-Kronecker.

Bon, si on remplace le sinus par un cosinus, le problème est simple.

Je continue à chercher pour le problème initial (mon "indication" s'avère peut être fausse ...)

Il suffit de montrer que cos(dx) n'est pas de période 2kPi où k est un entier.
Ce qui ne doit pas poser de probleme vu que d est irrationnel....

Indic : dériver 2 fois

Sinon, on peut utiliser le résultat suivant :

, continue sur et non constante est périodique si et seulement si , avec et les périodes respectives de et .

Dans notre cas, est périodique et est périodique. Or le rapport vaut , irrationnel par hypothèse. Donc la fonction considérée n'est pas périodique.

sinx=sin(x+2pi) période 2pi.
cosdx=cos(dx+2pi)=cos(d(x+2pi/d)) période x+2pi/d
La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi.
ppcm=1*1/d=1/d
si d irrationnel, 1/d irrationnel.
La fonction n'est pas périodique.

Merci mais je ne comprends pas trop cela :

La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi

Salut,
A mon avis, le plus simple est plutôt d'utiliser l'indic de ffpower qui demande uniquement comme connaissance de savoir que :

1) Si f est périodique de période T alors f" aussi

2) Si f et g sont périodiques de même période T alors, pour tout a,b dans R, a.f+b.g est aussi périodique de période T.

Oui mais je suis en seconde... La méthode de nodjim paraît plus adaptée à ce niveau non ?

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

a.T1 = b.T2
T2/T1 = a/b

*******
Dans le cas présent :
g(x) = sin(x), T1 = 2Pi
h(x) = cos(dx), T2 = 2Pi/d

T2/T1 = 1/d

1/d n'est pas rationnel et donc f(x) n'est pas périodique.

:zen:

Black Jack a écrit:La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

a.T1 = b.T2
T2/T1 = a/b

*******
Dans le cas présent :
g(x) = sin(x), T1 = 2Pi
h(x) = cos(dx), T2 = 2Pi/d

T2/T1 = 1/d

1/d n'est pas rationnel et donc f(x) n'est pas périodique.

:zen:

Merci beaucoup ! C'est beaucoup plus clair
toutefois :

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

Ceci se justifie ?

Salut,

ce genre d'exercice n'est pas facile, en tout cas surement pas de niveau seconde.

La période T, si elle existe, d'une fonction f(x) somme de 2 fonctions périodiques g(x) de période T1 et h(x) de période T2, est T = a.T1 = b.T2 avec a et b dans N* tels que a/b est une fraction rationnelle irréductible.

Ceci est malheureusement faux, il suffit de prendre h=-g pour s'en rendre compte.

Je pense que la preuve la plus "élémentaire" est celle proposée par ffpower, le problème est qu'elle ne s'adapte pas à toutes les situations. Dans un cadre plus général, pour étudier les périodes de f+g, il faut connaitre le résultat classique sur les sous-groupes additifs de R.

C'est l'histoire du théorème de Kroenecker Nightmare ?
(Voir message Zweig)

Je ne connais pas le théorème dont parle Zweig, ou, si je le connais, c'est surement sous un autre nom (ou peut être sans nom du tout).

Soit G un groupe abélien fini.

* Il existe une unique suite (a1,a2,...,ak) d'entiers > 1 telle que G soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite:

G\simeq \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}\;,

et que ai+1 divise ai pour tout i entier entre 1 et k - 1.

* Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.

sinx=sin(x+2pi) période 2pi.
cosdx=cos(dx+2pi)=cos(d(x+2pi/d)) période x+2pi/d
La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi.
ppcm=1*1/d=1/d
si d irrationnel, 1/d irrationnel.
La fonction n'est pas périodique.

Ceci est faux alors ?

Oui, pour la même raison :

"La période de la fonction est le ppcm de (2pi et 2pi/d)/2pi."

Ceci est généralement faux.