Groupes - morphismes

[capitaine nuggets]

Tout est très bien (à part que tu as écrit Z/2Z à la place de (Z/2Z)²) .
Il y a 3 isomorphismes possibles.

Peux-tu trouver les deux autres ?

On peut toujours interchanger les couples (0,1) et (1,0).
Mais pour le dernier, je ne vois pas.

P.S. : Oui, bien-sûr que c'est (Z/2Z)², je sais pas pourquoi je l'ai oublié.

[vincentroumezy]

Pour la question 2)
Onprend un système générateur minimal de G (il en existe au moins un car G est fini).
Prenons alpha et beta deux éléments de Z. Si cl(alpha)=cl(beta) (on se place ici dans Z/2Z), alors 2|(alpha-beta). Dans ce cas, pour tout x dans G, on a nécéssairement . Vois tu maintenant quelle application pourrait on construire qui soit un isomorphisme ?

[capitaine nuggets]

2) Prouves que si G est fini différent de {e}, il existe un entier n tel que G soit isomorphe à (en tant que groupe additif).

Pour la question 2)
Onprend un système générateur minimal de G (il en existe au moins un car G est fini).
Prenons alpha et beta deux éléments de Z. Si cl(alpha)=cl(beta) (on se place ici dans Z/2Z), alors 2|(alpha-beta). Dans ce cas, pour tout x dans G, on a nécéssairement . Vois tu maintenant quelle application pourrait on construire qui soit un isomorphisme ?

Je ne comprends pas ton raisonnement, pourrais-tu me le détailler s'il te plait.

[vincentroumezy]

Si cl(alpha)=cl(beta) pour la relation de congruence modulo 2, cela veut bien dire que beta est dans la classe de alpha, donc que alpha est congru à beta mod 2, donc que que 2 divise beta-alpha.

[capitaine nuggets]

Si cl(alpha)=cl(beta) pour la relation de congruence modulo 2, cela veut bien dire que beta est dans la classe de alpha, donc que alpha est congru à beta mod 2, donc que que 2 divise beta-alpha.

Ah du coup dans Z/2Z d'où .
Mais je vois pas comment déterminer cet isomorphisme.

[vincentroumezy]

Tu veux que je te le donne ou tu préfères chercher encore ?

[capitaine nuggets]

Tu veux que je te le donne ou tu préfères chercher encore ?

Ben je veux bien que tu me la donnes, mais alors explique-moi comment t'as réussis à le trouver ce fameux isomorphisme :we:

[vincentroumezy]

C'est celui qui à associe .
Vérifies que c'est bien une application, un morphisme, puis un iso.

[capitaine nuggets]

C'est celui qui à associe .
Vérifies que c'est bien une application, un morphisme, puis un iso.

Non j'arrive pas à montrer ces 3 propriétés.
Je ne comprends pas bien cette fonction.
J'ai essayé de l'écrire :
telle que .

En particulier, que représente concrètement les .

[vincentroumezy]

Attention, ce ne sont pas les alpha dont on prend l'image, mais leur classe.
Les (x1,....x_n), c'est unsystème générateur minimal de G.

[capitaine nuggets]

Attention, ce ne sont pas les alpha dont on prend l'image, mais leur classe.
Les (x1,....x_n), c'est unsystème générateur minimal de G.

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Mais comment montrer l'injectivité et la surjectivité ?

[vincentroumezy]

Prend le Ker, et montres qu'il est réduit à 0 (injectivité).

[capitaine nuggets]

Prend le Ker, et montres qu'il est réduit à 0 (injectivité).

nam là, ça me dépasse vraiment trop, je pense qu'on va revenir sur de plus simples choses.

Au pire, n'aurais-tu pas un autre exercice à me proposer ?

[vincentroumezy]

Si tu veux.
Prends G un groupe, H1 et H2 deux de ses sous groupes.
1)Donnes une CNS pour que H1H2={xy, x dans H1, y dans H2} soit un sg de G.

[capitaine nuggets]

Si tu veux.
Prends G un groupe, H1 et H2 deux de ses sous groupes.
1)Donnes une CNS pour que H1H2={xy, x dans H1, y dans H2} soit un sg de G.

J'avais lu quelque chose à propos des CNS.

CNS c'est montrer () ?
CN c'est montrer () ?
CS c'est montrer () ?

[capitaine nuggets]

Tiens, j'ai trouvé un petit exercice sympa regroupant plusieurs notions vues précédemment.

Partie I
Soit . On considère .
Soit l'ensemble des matrices telles que .
On rappelle que est un anneau commutatif unitaire.

1°) Montrer que est une partie de et de .
2°) Montrer que est un anneau unitaire commutatif.
3°)a) Montrer que pour tous réels : équivaut à .
3°)b) Déterminer les éléments inversibles de .
c) En déduire que est un corps commutatif.

Partie II
Soit un nombre complexe non réel.

1°) Montrer que est une base de l'espace vectoriel réel .
2°) On considère l'application qui, à toute matrice , associe le complexe .
Montrer que \psi est un morphisme bijectif de vers .
3°) Résoudre dans l'équation .
Donner les solutions sous forme trigonométrique.
4°) On suppose dans cette question que .
Montrer que \psi est un morphisme de vers .

Partie I. Soit .
J'ai montré que et .
D'où la conclusion.
2°) Ici j'ai pensé à montrer que est un sous-anneau de , mais je ne sais plus comment faire.
3°)a) Ici deux manières me sont venues à l'esprit.
1re méthode :
Pour tous réels :
.
Or et donc .

2e méthode : Fixons . Résolvons alors l'équation, de paramètre réel : .
.
- Si alors l'équation admet une racine double ;
- Si alors .

De plus, quels que soient les réels : donc par symétrie des rôles, on en déduis que .

b) est inversible si et seulement si i.e. , donc si et seulement si et .
Donc l'ensemble des matrices de inversibles est .
Par contre, je ne vois pas comment trouver .

[Doraki]

Tu peux rappeler les définitions d'un anneau unitaire et d'un élément inversible d'un anneau unitaire ?

[vincentroumezy]

J'avais lu quelque chose à propos des CNS.

CNS c'est montrer () ?
CN c'est montrer () ?
CS c'est montrer () ?

Oui, plus précisément, trouver une CNS pour que Q soit vrai, c'est trouver P tel que P équivaut à Q, ytouver une CN pour Q c'est trouver une condition P telle que non P implique non Q, une CS est P telle que si P alors Q.

[capitaine nuggets]

Tu peux rappeler les définitions d'un anneau unitaire et d'un élément inversible d'un anneau unitaire ?

Un ensemble muni de deux loi de compositions et est appelé anneau unitaire si et seulement si :
- est un groupe abélien ;
- admet un élément neutre ;
- est distributive par rapport à .

Par contre, l'autre définition, je ne parviens pas à m'en rappeler, ni à la retrouver :triste:

[vincentroumezy]

Un élément x d'un anneau est inversible s'il existe y tel que xy=1