Variables aléatoires et partie entière

[wasteland93]

Bonjour,

Mon problème concerne les propriétés de la variable aléatoire à valeur dans définie par

où X est une variable aléatoire positive absolument continue et , la partie entière inférieure.

Je précise que je suis pas mathématicien de formation. J'ai eu néanmoins l'occasion d'acquérir quelques notions en théorie des probabilités au cours de mon cursus d'ingénieur informatique. Voici mes souscis :

1- J'ai pu lire le résultat suivant dans une thèse :

Je sens bien le résultat mais je ne vois pas comment le démontrer...

2- Toujours dans la même thèse, et toujours sans démonstration, on peut lire :


Pour (a), pas de soucis, je vois bien comment ça se passe mais pour (b), j'aurais tendance à dire naïvement car . Je sais que mon raisonnement est faux mais j'arrive pas à savoir pourquoi...

J'attends vos réponses avec impatience. Merci d'avance!

[alben]

1- J'ai pu lire le résultat suivant dans une thèse :

Je suppose qu'il faut lire X à la place de T. Cette relation vient directement de la définition de la fonction partie entière :

(b)
Pour (a), pas de soucis, je vois bien comment ça se passe mais pour (b), j'aurais tendance à dire naïvement car . Je sais que mon raisonnement est faux mais j'arrive pas à savoir pourquoi...

La relation utilisée est V(Z)=E(Z²)-[E(Z)]² qui est toujours vraie.
L'inégalité est obtenue en élevant l'inégalité 1 au carré (pas de problème de sign, tout est positif), en lui appliquant l'opérateur E qui est linéaire puis en soustrayant l'inégalité du 2a dont les termes sont mis au carré.

Ton raisonnement ne marche pas car ton a n'est pas une constante mais une variable aléatoire, son espérance et sa variance ne sont pas nuls.

[wasteland93]

Merci de ta réponse!

Je suppose qu'il faut lire X à la place de T. Cette relation vient directement de la définition de la fonction partie entière :

Effectivement, il faut bien lire X à la place de T, désolé... En fait ma question porte surtout sur le fait que cette inégalité est vrai presque surement. Je ne vois pas à quel moment le (p.s.) intervient.

La relation utilisée est V(Z)=E(Z²)-[E(Z)]² qui est toujours vraie.
L'inégalité est obtenue en élevant l'inégalité 1 au carré (pas de problème de sign, tout est positif), en lui appliquant l'opérateur E qui est linéaire puis en soustrayant l'inégalité du 2a dont les termes sont mis au carré.

Effectivement, tu as raison mais je ne comprends toujours pas (je suis un peu bouché) pourquoi il est interdit d'appliquer directement l'opérateur Var(.) à l'inégalité . ce qui donnerait



J'ai le sentiment que je n'ai pas le droit de faire ça à cause du (p.s.)..? J'espère avoir été un peu plus clair sur mon problème.

[alben]

Effectivement, il faut bien lire X à la place de T, désolé... En fait ma question porte surtout sur le fait que cette inégalité est vrai presque surement. Je ne vois pas à quel moment le (p.s.) intervient.

Moi non plus, c'est une relatition purement mathématique dans laquelle les probas n'interviennent pas. Notre thésard s'est planté sur un détail :happy2:

Effectivement, tu as raison mais je ne comprends toujours pas (je suis un peu bouché) pourquoi il est interdit d'appliquer directement l'opérateur Var(.) à l'inégalité
J'ai le sentiment que je n'est pas le droit de faire ça à cause du (p.s.)..?

Non, c'est tout simplement parce que la variance n'est pas un opérateur linéaire mais quadratique. Pour t'en convaincre, tu peux transformer l'inégalité du 1 pour faire apparaître (K-m)² cela donne . Mais si m est l'espérance de K, cela n'est pas exactement celle de X puisque la relation 2a te donnais un écart entre le deux compris entre 0 et 1.
Je ne suis pas certain d'être clair mais ton raisonnement consiste à écrire que la variable D=K-X est d'espérance et de variance nulle, ce qui ne peut être le cas (en fait, E(D) est voisin de 0.5 et V(D) de 0,25 mais ça dépend de la loi de X)
De toute manière, l'intervalle qui est donné pour la variance de K est effectivement surdimensionné

[wasteland93]

Merci de ton aide! J'y vois un peu plus clair maintenant. Je vais méditer tout cela à tête reposée!