Variables aléatoires

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 20:38

Bonjour!

" (...) On voudrait calculer la probabilité que le nombre de "faces" obtenues sur 100 lancers soit inférieur ou égal à 40. "

Quelle est la méthode à utiliser dans ce cas là? Je n'arrive plus à tomber dessus!
Je sais que pour la moyenne c'est n.p et que pour l'écart type c'est racine de n.p.(1-p), mais je ne sais pas quoi en faire après :hein:

Merci pour l'aide!

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 20:57

Bonjour,

On applique la même méthode que l'autre jour : ( Tu te douviens ? :lol3: )
Lors d'un premier lancer, il y'a deux possibilités, soit il obtient "face" soir il n'obtient pas face ( i.e : il obtient pile ), donc, il s'agit d'une loi de Bernoulli. Par contre, lorsque on applique

lancers, alors, on applique la somme de

lois de Bernoulli, c'est à dire, une loi binomiale de paramètres :

et

. Si on note :

, la variable aléatoire correspondante à cette loi, alors la première question de ton exercice signifie de calculer tout simplement :

.
Mais, ici, c'est impossible de faire ce calcul de manière aisée, car comment réussirait tu à calculer à la main :

. c'est fastidieux. C'est pourquoi, dans ce cas là, on préfère appliquer un théorème qui l'approxime avec la loi normale :
Le théorème dit :
Lorsque :

et

, alors :

, c'est à dire :

est équivalent à :

équivalent aussi à :

avec :

: la loi normale. :happy3:

Cordialement. :happy3:

par **fatal_error** » 28 Fév 2015, 20:58

salut,

tu peux calculer la proba davoir exactement 1 face, puis celle d'avoir exactement 2 faces ...etc

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:03

barbu23 a écrit:Bonjour,

On applique la même méthode que l'autre jour : ( Tu te douviens ? :lol3: )
Lors d'un premier lancer, il y'a deux possibilités, soit il obtient "face" soir il n'obtient pas face ( i.e : il obtient pile ), donc, il s'agit d'une loi de Bernoulli. Par contre, lorsque on applique lancers, alors, on applique la somme de lois de Bernoulli, c'est à dire, une loi binomiale de paramètres : et . Si on note : , la variable aléatoire correspondante à cette loi, alors la première question de ton exercice signifie de calculer tout simplement : .
Mais, ici, c'est impossible de faire ce calcul de manière aisée, car comment réussirait tu à calculer à la main : . c'est fastidieux. C'est pourquoi, dans ce cas là, on préfère appliquer un théorème qui l'approxime avec la loi normale :
Le théorème dit :
Lorsque : et , alors : , c'est à dire : est équivalent à : équivalent aussi à : avec : : la loi normale. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Coucou! D'accord, merci!
Du coup si p = 0.55 et n = 100, ma moyenne fait 55 et mon écart type 4.97
Donc X=40 devient 40-55/4.97 = -3.01

A partir de là je ne sais pas comment faire :hein:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:04

fatal_error a écrit:salut,

tu peux calculer la proba davoir exactement 1 face, puis celle d'avoir exactement 2 faces ...etc

Oui, mais comme ça serait bien trop long, le but de l'exercice est d'utiliser une autre méthode, comme l'a dit barbu23 :lol3:

par **zygomatique** » 28 Fév 2015, 21:22

salut

avec les calculatrices de maintenant il est inutile de passer par une approximation par la loi normale ....

elles donnent directement le résultat avec la loi binomiale ...

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:22

zygomatique a écrit:salut

avec les calculatrices de maintenant il est inutile de passer par une approximation par la loi normale ....

elles donnent directement le résultat avec la loi binomiale ...

Etant donné que c'est un devoir je suis obligée de montrer que je sais le faire, et donc faire le calcul en détail :lol3:

par **zygomatique** » 28 Fév 2015, 21:31

faire quoi en détail ?

parce que la loi normale va donner une valeur exacte ? ... MDR

et en plus l'approximation ... est une approximation !!! donc moins bonne qu'avec la loi binomiale

Quelle est la méthode à utiliser dans ce cas là? Je n'arrive plus à tomber dessus!

donc rien n'est imposé ...

donc la seule chose est :

1/ reconnaître le modèle aléatoire (loi de probabilité) et le justifier
2/ calcul approché avec une calculatrice (sauf éventuellement pour certaine valeur particulière) vu qu'ici on cherche P(X =< 40)

épictou ....

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 21:35

Kidrauhpe a écrit:Coucou! D'accord, merci!
Du coup si p = 0.55 et n = 100, ma moyenne fait 55 et mon écart type 4.97
Donc X=40 devient 40-55/4.97 = -3.01

A partir de là je ne sais pas comment faire :hein:

D'accord, alors , on a dit que :

Parmi ces trois lois, celle que nous allons utiliser est :

, parce que, comme on a dit dans le message précédent, on ne peut pas travailler avec : la loi :

, car c'est fastidieux. On ne peut pas non plus travailler avec la loi :

, car, il n'y'a pas de table standard pour la loi normale tout court, on va travailler juste avec la loi :

, car on a une table statistique pour cette loi qui s'appelle : loi normale "centrée réduite".
Voici le calcul qu'on fait :
Il faut donc calculer :

.
On a :

... Essaye de calculer d'abord la quantité :

. :happy3:
Quant à moi, je marrête là, car j'ai oublié comment on se sert de la table de la loi normale centrée réduite. :happy3:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:40

barbu23 a écrit:D'accord, alors , on a dit que :

Parmi ces trois lois, celle que nous allons utiliser est : , parce que, comme on a dit dans le message précédent, on ne peut pas travailler avec : la loi : , car c'est fastidieux. On ne peut pas non plus travailler avec la loi : , car, il n'y'a pas de table standard pour la loi normale tout court, on va travailler juste avec la loi : , car on a une table statistique pour cette loi qui s'appelle : loi normale "centrée réduite".
Voici le calcul qu'on fait :
Il faut donc calculer : .
On a : ... Essaye de calculer d'abord la quantité : . :happy3:
Quant à moi, je marrête là, car j'ai oublié comment on se sert de la table de la loi normale centrée réduite. :happy3:

Merci, j'ai eu pareil! Le problème c'est que je ne peux même pas utiliser la table puisque mon chiffre est négatif.. (-3,01)
:hein: :hein:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:41

zygomatique a écrit:faire quoi en détail ?

parce que la loi normale va donner une valeur exacte ? ... MDR

et en plus l'approximation ... est une approximation !!! donc moins bonne qu'avec la loi binomiale

donc rien n'est imposé ...

donc la seule chose est :

1/ reconnaître le modèle aléatoire (loi de probabilité) et le justifier
2/ calcul approché avec une calculatrice (sauf éventuellement pour certaine valeur particulière) vu qu'ici on cherche P(X =< 40)

épictou ....

Malheureusement si, mon prof me l'impose.

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 21:44

Kidrauhpe a écrit:Merci, j'ai eu pareil! Le problème c'est que je ne peux même pas utiliser la table puisque mon chiffre est négatif.. (-3,1)
:hein: :hein:

Qu'est ce qui est égale à -3,1 ? J'ai pas compris. :happy3:
Cordialement. :happy3:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 21:46

barbu23 a écrit:Qu'est ce qui est égale à -3,1 ? J'ai pas compris. :happy3:
Cordialement. :happy3:

Avec ça j'ai 40-55/4.97 , ce qui donne -3,01

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 21:56

Kidrauhpe a écrit:

Avec ça j'ai 40-55/4.97 , ce qui donne -3,01

Ah d'accord. :happy3:
Alors, là, il faut appliquer la formule générale :

, spécifique uniquement à la loi normale centrée réduite ( Pour les autres loi, non, à ma connaissance ). Tu sais pourquoi ? Parce que le graphe de cette loi ( le graphe de sa fonction de répartition ) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et l'aire sous la courbe de cette loi est égale à :

. ( Parce que :

avec :

: l'événement certain ).Tu dois avoir ça dans le cours. :lol3:
Donc, tu appliques cette formule. Sais tu l'appliquer ? :happy3:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 22:00

barbu23 a écrit:Ah d'accord. :happy3:
Alors, là, il faut appliquer la formule générale : , spécifique uniquement à la loi normale centrée réduite ( Pour les autres loi, non, à ma connaissance ). Tu sais pourquoi ? Parce que le graphe de cette loi ( le graphe de sa fonction de répartition ) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et l'aire sous la courbe de cette loi est égale à : . ( Parce que : avec : : l'événement certain ).Tu dois avoir ça dans le cours. :lol3:
Donc, tu appliques cette formule. Sais tu l'appliquer ? :happy3:

Ouh là non je ne sais pas du tout, on a du faire un exercice comme ça dans le cours pas plus :triste:
a et U représentent quoi ici?

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 22:04

Kidrauhpe a écrit:Ouh là non je ne sais pas du tout, on a du faire un exercice comme ça dans le cours pas plus :triste:
a et U représentent quoi ici?

Non :

est une formule générale pour la loi normale centré réduite :

( de manière générale ). Pour ton cas :

, que tu as calculer toi même. et

. Tu as compris maintenant ? :happy3:

par **Kidrauhpe** » 28 Fév 2015, 22:10

barbu23 a écrit:Non : est une formule générale pour la loi normale centré réduite : ( de manière générale ). Pour ton cas : , que tu as calculer toi même. et . Tu as compris maintenant ? :happy3:

Désolée je comprends pas du tout aha. Si le U égal à cette formule alors ça équivaut aussi à -3.01 non?.. :mur: :hein:

par **barbu23** » 28 Fév 2015, 22:23

Je ne sais pas comment t'expliquer plus que ça. :mur:
Je te donne la solution et à toi de te débrouiller.
Théorème :
De manière générale, que ce soit par rapport à cet exercice, ou n'importe quel autre exercice :
Si :

, alors,

:

.
Corrigé du problème :
D'après ce qu'on a dit plus haut :

. D'après le théorème çi-dessus, on a :

, c'est à dire :

.
Par conséquent :

.
Et tu vois dans la table statistique de la loi normale centrée réduite. :happy3:

par **zygomatique** » 01 Mar 2015, 12:10

on a dit dans le message précédent, on ne peut pas travailler avec : la loi :, car c'est fastidieux.

MDR

j'aimerais bien savoir dans quel cadre ton prof t'impose cette recette stupide et artificielle .... sauf si c'est explicite dans l'énoncé (et alors tu as un exercice d'apprentissage, pourquoi pas) mais tel quel je le répète c'est stupide et sans intérêt car ce n'est pas faire des math ...

il en est de même pour le changement de variable par la loi normale centrée réduite vu que lire une valeur apporchée sur une table ou sur une calculatrice c'est du pareil au même ....

par contre on peut voir un intérêt au changement de variable lorsque n est inconnu ou lorsque les bornes d'un intervalles sont inconnues ...

et vu

Quelle est la méthode à utiliser dans ce cas là? Je n'arrive plus à tomber dessus!

j'ai des doutes sur ce que tu racontes ....

ou alors précise l'énoncé et ta formation ....

par **Kidrauhpe** » 01 Mar 2015, 14:09

zygomatique a écrit:MDR

j'aimerais bien savoir dans quel cadre ton prof t'impose cette recette stupide et artificielle .... sauf si c'est explicite dans l'énoncé (et alors tu as un exercice d'apprentissage, pourquoi pas) mais tel quel je le répète c'est stupide et sans intérêt car ce n'est pas faire des math ...

il en est de même pour le changement de variable par la loi normale centrée réduite vu que lire une valeur apporchée sur une table ou sur une calculatrice c'est du pareil au même ....

par contre on peut voir un intérêt au changement de variable lorsque n est inconnu ou lorsque les bornes d'un intervalles sont inconnues ...

et vu j'ai des doutes sur ce que tu racontes ....

ou alors précise l'énoncé et ta formation ....

Que tu me croies ou non, c'est bel et bien un exercice d'apprentissage. D'où ce que mon prof a ajouté dans lénoncé de l'exercice ; "Comment contourner ces calculs fastidieux? Calculez (en détaillant) une valeur approchée de cette probabilité et dites pourquoi cette approximation ne sera pas en fait trop mauvaise."
C'est peut-être inutile, mais dans le cadre de mon cours je dois le faire, il n'y a pas à en discuter plus. :hum:

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