Topologie, caractérisation d'une application ouverte

[chombier]

Bonjour à tous,

Je me pose une question qui n'a peut être pas grand sens, mais elle m'obsède, je me permet donc de la poser ici.

Dans le cadre de la topologie générale, je considère une application

J'ai opté pour les définitions suivantes :
f est ouverte si l’image de tout ouvert de X par f est un ouvert de Y
f est fermée si l’image de tout fermé de X par f est un fermé de Y
est ouverte si l’image réciproque de tout ouvert de Y par f est un ouvert de X
est fermée si l’image réciproque de tout fermé de Y par f est un fermé de X
f est continue si est ouverte

On voit assez facilement que
est ouverte est fermée f est continue

J'ai trouvé dans le El Hage Hassan les propriété suivantes :




J'ai beau avoir compris, lu et relu les démonstrations, je trouve ces équivalences très contre-intuitives. Et ça me laisse un goût amer.

Peut-être que dans un cadre restreint (de R dans R par exemple), ça pourrait me sembler plus intuitif. En tout cas je suis ouvert à toute explication pour essayer de me faire comprendre en quoi

Peut-être en se limitant à une base (les intervalles ouverts ]a ; b[ avec et
Je cherche des pstes

J'essaie pour forger mon intuition de comprendre à quoi correspond la proposition "manquante"


Que signifie-t-elle, pourquoi n'as-t-elle pas un équivalent intéréssant elle aussi ?

Je sais que mes questions sont vagues, mais si ces équivalences sont claires et intuitives pour vous, si vous avez des pistes d'exercices / de travail à me donner pour donner du sens à tout ça, vous me seriez d'une grande aide !!!

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Il ne faudrait déjà pas se mélanger les pinceaux : est équivalent à " continue", et pas à " ouverte".
En effet, équivaut à .
Supposons continue. Alors est un fermé de qui contient et donc contient , pour toute partie de .
Réciproquement, supposons et soit un fermé de . Posons . Alors et est donc fermé d'après . Ceci montre que est continue.

Edit : ah, je vois que tu t'es aperçu de ton erreur et que tu as modifié ton message.

[chombier]

En effet je me suis mélangé les pinceaux entre est ouverte (aka f est continue) et f est ouverte. J'ai corrigé. Merci.

Pour la démonstration, tu vas trop vite pour ma petite tête :
pour montrer que il me faut passer par des étapes.

A minima celle là :

Je ne comprends pas la réciproque :

Réciproquement, supposons et soit un fermé de . Posons . Alors et est donc fermé d'après . Ceci montre que est continue.

Par hypohèse, . Je m'arrête là !

En même temps j'avais déjà une démonstration :
Soit F un fermé de Y.
(c'est universellement vrai) donc
Par hypoyhèse,
donc donc donc est un fermé de X
Par arbitraire de F, est fermée donc f est continue.

J'ai beau lire et relire, ça n'est pas intuitif !!

Quand à ma propriété orpheline, , qu'est-ce qu'elle t'inspire ?

Tout ce que j'ai réussi à voir, c'est que si je l'applique à un ouvert O, ça donne une tautologie :
.

[GaBuZoMeu]

pour montrer que il me faut passer par des étapes.

C'est vraiment ce que tu voulais écrire ? Parce que ça, c'est immédiat.
Un truc de base purement ensembliste : si et seulement si . Applique à


Et aussi, en appliquant à et , ça donne et donc puisque est fermé. Donc .
C'est la même démonstration que celle que tu cites, sauf que j'appelle ce qui est appelé dans ta version.

[chombier]

Non bien sur, je voulais écrire

Pour montrer que il me faut passer par au moins une étape.

Celle là : .

Mais ce n'est pas très important, comme je l'ai dit, j'avais déjà des démonstrations pour les trois premières propriétés que j'avais comprises.

Par contre ma propriété orpheline, , j'aimerais vraiment avoir des commentaires.

Tout ce que j'ai réussi à voir, c'est que si je l'applique à un ouvert O, ça donne une tautologie :
.

Ceci et le fait que j'ai vraiment du mal à comprendre intuitivement le lien entre "f est continue" et "l'image de l'adhérence est incluse dans l'adhérence de l'image".

[GaBuZoMeu]

Ceci et le fait que j'ai vraiment du mal à comprendre intuitivement le lien entre "f est continue" et "l'image de l'adhérence est incluse dans l'adhérence de l'image".

Il me semble pourtant que "Pour tout , si est adhérent à , alors est adhérent à "reflète bien intuitivement la continuité de .

Quant à ton autre propriété, elle n'évoque rien pour moi, et je ne vois pas pourquoi elle devrait évoquer quelque chose d'intéressant sur . Mais je peux bien sûr me tromper.

[chombier]

Ceci et le fait que j'ai vraiment du mal à comprendre intuitivement le lien entre "f est continue" et "l'image de l'adhérence est incluse dans l'adhérence de l'image".

Il me semble pourtant que "Pour tout , si est adhérent à , alors est adhérent à "reflète bien intuitivement la continuité de .

Oui maintenant que tu me le dis, ça sonne bien avec ces deux propriétés :
Si une suite à valeur dans un fermé F est convergente alors sa limite est dans F
Si une fonction est continue, si (u_n) est une suite à valeur dans X convergente de limite l alors, (f(u_n)) est une suite convergente de limite f(l)

Je te remercie

Quant à ton autre propriété, elle n'évoque rien pour moi, et je ne vois pas pourquoi elle devrait évoquer quelque chose d'intéressant sur . Mais je peux bien sûr me tromper.

Tant pis pour elle ! Et encore merci à toi

[chombier]

Ce qui est dommage c'est qu'un'e de mes deux propriétés n'est valable que dans un espace métrique.

Je pensais naivement avoir trouvé un autre moyen de démontrer que f continue <=> "Pour tout , si est adhérent à , alors est adhérent à "

Peut-être qu'une démonstration utilisant ces deux propriétés est valable dans un espace métrique (je n'ai pas trop pris le temps de chercher). Et peut-être qu'elle se généralise à la topologie générale en utilisant les suites généralisées. Beaucoup de peut-être...

[GaBuZoMeu]

Beaucoup d'efforts pour pas grand-chose : la démonstration que tu as déjà est simple et courte.